En aras de la claridad, permítanme comenzar afirmando que asumo que [math] k [/ math] es la parte de la relación que relaciona el área común a ACE y BDF, y [math] w [/ math] la parte de la relación que relaciona el área del hexágono con el área de ABCDEF.
Comience dibujando el hexágono ABCDEF y los triángulos ACE y BDF dentro de él. Queda claro que el área común a ACE y BDF es otro hexágono regular en sí mismo.
- ¿Cuál es el nombre de un polígono de 20 lados?
- ¿Cuáles son ejemplos de líneas que se cruzan en la vida real?
- ¿Cuál será el ángulo entre los vectores de posición A y B usando el producto punto?
- ¿Son los tragaluces circulares mejores que los rectangulares?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de objetos en forma de esfera?
Como el área de un hexágono regular se puede escribir en función de la longitud de su lado al cuadrado (te lo dejo para que lo pruebes *) para ambos hexágonos regulares, la razón de áreas [matemáticas] k: w [ / matemáticas] también es equivalente a la relación de las longitudes de los lados al cuadrado de los dos hexágonos.
Dado que este hexágono es regular, sabemos que la suma de sus medidas de ángulo debe ser igual al número de lados menos dos veces [matemática] 180 [/ matemática] grados (¡es mejor que hayas aprendido esta fórmula en Geometría!). Cada medida de ángulo debe ser este valor dividido por el número de vértices, lo que equivale a medidas de ángulo de [matemáticas] 120 [/ matemáticas] grados cada una. Esto significa que podemos subdividir dicha forma en seis triángulos equiláteros conectando vértices opuestos a través de líneas que cortan cada uno de los ángulos del hexágono, de esta manera:
Luego, observe la relación entre la longitud del lado del hexágono ABCDEF y su altitud, particularmente según las altitudes de sus triángulos constituyentes. Como lo demuestra la línea punteada anterior, una de las altitudes de los triángulos es claramente la mitad de la del hexágono que forma, o que la altitud del hexágono es el doble que la de cualquiera de sus triángulos constituyentes.
Observando que un triángulo equilátero se puede subdividir en dos triángulos [matemática] 30 [/ matemática] – [matemática] 60 [/ matemática] – [matemática] 90 [/ matemática] dibujando su altitud:
Entonces podemos determinar la altitud de dicho triángulo equilátero, que, usando el hecho de que la longitud lateral del triángulo [matemática] 30 [/ matemática] – [matemática] 60 [/ matemática] – [matemática] 90 [/ matemática] es la mitad de el equilátero, o [math] \ frac {3} {2} [/ math], debe ser igual a [math] \ frac {3 \ sqrt {3}} {2} [/ math], como se deriva de relaciones de longitud estándar de los lados de cualquier triángulo [matemático] 30 [/ matemático] – [matemático] 60 [/ matemático] – [matemático] 90 [/ matemático]. Al observar nuestro diagrama anterior, la altitud del hexágono ABCDEF es claramente el doble de esto, o [math] 3 \ sqrt {3} [/ math].
Regrese al primer diagrama y observe que la altitud del hexágono más pequeño perpendicular a la longitud de un lado es igual a la longitud del lado del hexágono original. Considere que la altitud de un hexágono regular, a su vez, es directamente proporcional a su longitud lateral: examine la relación entre estas dos longitudes para un hexágono regular de CUALQUIER longitud lateral, y verá que esto es cierto.
Esto significa que, si la razón [matemática] k: w [/ matemática] es equivalente a la razón de áreas de los hexágonos más grandes y más pequeños Y la razón de las longitudes de los lados al cuadrado de los hexágonos más grandes y más pequeños, TAMBIÉN es el equivalente al relación de altitudes al cuadrado de los hexágonos más grandes y más pequeños (derivado de la relación de lados al cuadrado ). Esto hace que la relación [matemática] k: w [/ matemática] sea igual a …
[matemáticas] 3 ^ 2: (3 \ sqrt {3}) ^ 2 [/ matemáticas], dado que la razón es de altitudes al cuadrado de los dos hexágonos, NO simplemente de sus altitudes. Simplificar esta expresión usando operaciones básicas debería darte la relación que estás buscando, con k y w como enteros.
* Sugerencia: determinar el hecho de que el área de un hexágono regular puede escribirse en función de la longitud de su cuadrado al cuadrado radica más obviamente en el hecho de que dicho hexágono puede subdividirse en seis triángulos equiláteros de igual área.