¿Cuál es el objeto o proceso más interesante en geometría de cuatro dimensiones?

Answer 1

En una palabra, rotación. Aquí hay una imagen de la wiki sobre rotaciones 4D en el espacio euclidiano:

Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones

Mi teléfono no muestra esto correctamente, siga el enlace si no gira por usted.

Interpretando el movimiento

Para interpretarlo, debe imaginar que todos los cubos unidos entre sí son realmente idénticos, solo se ven distorsionados debido a la proyección. ¿Cómo ubicas los cubos? Bueno, hay uno pequeño en el “centro” y uno grande en el “exterior”. Hay seis cubos más para encontrar, y son los cubos distorsionados de aspecto trapezoidal en la zona entre el cubo interior y el cubo exterior. En la realidad 4D, estos ocho cubos no están distorsionados en absoluto, y los ocho cubos tienen el mismo tamaño y forma. Así como un cubo 3D está formado por seis superficies o caras planas, un cubo 4D está formado por ocho volúmenes cúbicos que puede llamar sus “caras”. Los “interiores” y “exteriores” de ese objeto se intercambian durante la rotación. Eso significa que el concepto 3D de adentro y afuera cambia su significado. No hay fundamental adentro o afuera en 3D para los objetos que experimentan ese tipo de rotación. Si desea preservar esos conceptos, debe pasar a una apreciación 4D de lo que podrían significar esos conceptos. Y es posible que tengas sorpresas.

Doble rotación

Tienes que tener cuidado con estos, hay grados adicionales de libertad. Hay combinaciones de movimientos que son un poco sorprendentes porque no se pueden hacer en dimensiones más bajas. Por ejemplo, puede tener dos tipos diferentes de rotaciones independientes al mismo tiempo. La rotación en la imagen está haciendo una doble rotación, y aunque las dos rotaciones son similares en esa imagen, pueden variar independientemente. O podríamos inventar alguna regla para conectarlos. La idea de que un objeto extendido puede moverse de varias maneras al mismo tiempo es interesante.

Operaciones de simetría

El estudio de las operaciones de simetría en sí es muy divertido. Puede comenzar con la rotación, la reflexión, la inversión, la traslación y las transformaciones de escala, y ver qué permite o previene una dimensión adicional.

El rol del tiempo

A veces se afirma que “el tiempo es la cuarta dimensión” en situaciones como esta, pero aquí la película simplemente actúa como un estímulo mental para ayudar a su cerebro a reunir toda la información de una dimensión inferior para construir su concepto de la dimensión superior.

Juegos de computadora

De la informática tenemos la idea de una “máscara”. Una máscara es una regla que dice mostrar u ocultar. Por lo tanto, una máscara puede ser un 0 o un 1 para mostrar o eliminar un punto. Moviéndose hasta dos dimensiones, para enmascarar áreas, la máscara en sí misma será una capa en blanco y negro que afecta la capa de abajo, una especie de filtro visual. Esto es típico de los programas de dibujo como Photoshop. Pero las interfaces gráficas de usuario requieren más flexibilidad e inteligencia que los dibujos tontos, por lo que no utilizan una pila de capas para ensamblar una escena. En cambio, normalmente se elige una capa base, llamada forma, y ​​los objetos llamados botones y paneles, etc., se enmascaran permanentemente en “objetos”, que ahora tienen mucha más libertad de movimiento. El programador puede moverlos sin tener que preocuparse de en qué capa están. Y pueden superponerse entre sí en la tercera dimensión, que los programadores conocen como el “orden z”, una especie de profundidad dentro o fuera de la pantalla. Este tipo de enmascaramiento permite que los objetos de la GUI estén delimitados y, debido al límite, también les permite tener propiedades localizadas e inteligencia que pueden llevar consigo. Si saltamos ahora a 3D, ¿cómo ves un juego de computadora 3D de realidad virtual? Puede tratar partes de la escena como capas, que se superponen para hacer la escena, y los objetos móviles como personajes móviles independientes y accesorios contra el fondo. Excepto que las “capas” están en 3D ahora. Edificios y rocas, camiones quemados y varios “accesorios” conforman el telón de fondo de la acción. Las texturas se “enmascaran” en las características de la escena. Pero los objetos móviles están definidos por sus límites. El cerebro aplica una máscara para reconocer lo que es importante. Esa máscara es en efecto ahora una superficie 3D, llamada “piel”. Su cerebro trabaja para que los movimientos y las rotaciones de la superficie de la piel proporcionen información sobre un objeto de volumen completamente en 3D.

Puedes imaginar cómo sería un juego 4D. Sería un poco más complejo que Sheldon jugando al ajedrez en 3D. En el ajedrez 4D los movimientos serían simples, pero tomaría mucho más trabajo descubrir qué estaba atacando qué. Un movimiento que parecía seguro en 3D no es necesariamente seguro, porque le falta una dimensión. Para estudiar la posición, es posible que necesite ocho juegos de juegos de ajedrez tridimensionales, por lo que se necesitaría una computadora para verificar todas las combinaciones de controles y bloques entre Todos los tableros. La estrategia sería una pesadilla.

En un juego de disparos, podrías ser francotirado fácilmente desde otra dimensión. Y los volúmenes cerrados en 3D ya no están cerrados. Las puertas cerradas tienen soluciones 4D para sortearlas, el teletransporte ya se usa en juegos, que es un tipo de conexión 4D suelta.

3D es solo un sistema …

Si piensa que los objetos cotidianos están desollados, con un tipo especial de máscara de superficie, entonces debe haber una forma o fondo que su cerebro esté usando para representar el “terreno” de esa realidad. La diferenciación de nuestro mundo en nociones comprensibles comienza con la cognición visual, por lo que todos los cerebros deben compartir una base común de percepción que evolucionó a partir de estos requisitos básicos de procesamiento de información.

Una nota sobre la relatividad rotacional

La teoría “4D” de la relatividad especial se desarrolló utilizando relojes y reglas, para explicar cómo las “traslaciones”, es decir, los desplazamientos lineales deberían comportarse físicamente, pero puede desarrollar la relatividad rotacional (o la relatividad de escala, etc.) por extensión, para explicar cómo las rotaciones también también debe comportarse físicamente, y puede incluir más dimensiones según sea necesario. Moshe Carmeli, por ejemplo, desarrolló la teoría de Einsteins del espacio-tiempo de cuatro dimensiones en cinco dimensiones de la Relatividad General Cosmológica de la CGR, siguiendo este patrón de razonamiento.