En el diagrama a continuación, ¿por qué [math] H [/ math] es el incentro de [math] \ bigtriangleup DEF [/ math]?

Answer 1

Lo que tienes allí no es solo el centro, es el ortocentro

El ortocentro de un triángulo es la intersección de las tres altitudes del triángulo. La altitud de un triángulo es la línea que es perpendicular desde uno de los lados hasta un punto opuesto a dicho lado. Que se parece a lo que tienes aquí

Los triángulos son un poco extraños en los que tienen algunas definiciones diferentes de lo que significa “centro”.

InCenter: es la intersección de las bisectrices de ángulo para cada ángulo interno

Circuncentro: es la intersección de las bisectrices perpendiculares de cada lado

Centroide: la intersección de las medianas

Ortocentro: lo que tienes arriba

También está el segundo momento, que es lo que uso para determinar los centros de las cosas, que es realmente como tomar una media geométrica sobre cuántos ejes tienes. Si se aplica masa a su geometría, esto se conoce comúnmente como el Centro de gravedad (CoG) o Momento de inercia de masa (MoI).

Editar: Gracias al ortocentro de un triángulo por las otras definiciones de centro de un triángulo.

Edición 2: Me llamó la atención que respondí la pregunta para ABC y la pregunta fue publicada para DEF. Lo siento por eso.

Entonces, lo que tenemos aquí es el triángulo ortético (orto-centro, ortético). Lo que encuentras para los triángulos órticos es que las altitudes que los crean también son bisectrices de ángulo para cada uno de los puntos de triángulos órticos. Entonces, en lugar de tener un triángulo que es ortocentro como dije anteriormente, en realidad es Incentro.

Perdón por la confusión.

Edición 3: pensé que también debería agregar esta parte rápida ya que la pregunta requiere “¿por qué?” Y básicamente di el equivalente de “porque así lo dije”.

Le sugiero que use la Ley de cosenos y realice los cálculos para mostrar que estas altitudes son, de hecho, bisectrices de ángulo (esta es la forma más fácil de demostrarlo). Sin embargo, no hay números en este problema, por lo que necesitará una prueba geométrica.

Te sugiero que mires esto. Creo que esto pasa a través de la prueba geométrica simplemente lo suficiente.

Answer 2

Esto es realmente más simple de lo que parece.

La proposición equivalente para probar sería que en [matemáticas] \ bigtriangleup DEF [/ matemáticas], [matemáticas] HE [/ matemáticas], [matemáticas] HD [/ matemáticas] y [matemáticas] HF [/ matemáticas] son ​​las bisectrices de Los ángulos de vértice. Como paso inicial, marque los ángulos iguales. Lo hago con colores idénticos en el siguiente diagrama:

Esto es fácil de derivar. Como ejemplo, para los dos ángulos marcados en rojo, tenga en cuenta que son los pares de ángulos correspondientes en triángulos similares [math] \ bigtriangleup ACF [/ math] y [math] \ bigtriangleup BCD [/ math].

Luego, comprenda que los siguientes cuadriláteros son cíclicos: [matemática] HDCF [/ matemática], [matemática] HEBF [/ matemática] y [matemática] CABEZA [/ matemática].

Consideramos los ángulos subtendidos en los círculos que circunscriben estos cuadriláteros cíclicos por los acordes [matemática] HD [/ matemática], [matemática] HE [/ matemática] y [matemática] HF [/ matemática]. Una vez más, marcamos los ángulos iguales de la siguiente manera:

Como notará, la prueba ya está completa.

Answer 3

H es el ortocentro de [math] \ Delta [/ math] ABC

Para probar que H es el incentro de [math] \ Delta [/ math] DEF, pruebe BD bisects [math] \ angle [/ math] EDF, AF bisects [math] \ angle [/ math] DFE y así sucesivamente.

Construye los círculos de los triángulos CBD y ADB

DE es tangente a la circunferencia circunscrita de [math] \ Delta [/ math] ADB y DF es tangente a la otra circunferencia circunscrita.

BD biseca [matemáticas] \ ángulo [/ matemáticas] DEF

Del mismo modo para los otros dos ángulos.

Y las tres bisectrices son altitudes de [math] \ Delta [/ math] ABC y se encuentran en H.

Por lo tanto, H es el incentro de [math] \ Delta [/ math] DEF.