¿Qué horas exactas del día están las manecillas de un reloj analógico en ángulo recto?

Answer 1

¿Qué horas exactas del día están las manecillas de un reloj analógico en ángulo recto?

Para un reloj analógico de propósito general, agradecería la afirmación de que la palabra “exacto” en la pregunta es, por falta de un mejor adjetivo, una exageración.

¿Por qué? Dejame explicar.

El ángulo entre las manecillas de un reloj analógico cambia en pasos , cuyo valor depende del menor recuento del reloj.

Cómo funciona un reloj mecánico (GIF)

Por ejemplo, para la mayoría de los relojes analógicos, la duración de tiempo medible más pequeña es de 1 segundo. El ángulo entre las manecillas del reloj, por lo tanto, cambia en pasos de [matemáticas] 360 ^ \ text {o} / 60 \ times (1 – 1/12) / 60 = 5.5 ^ \ text {o} / 60 = 0.091 \ barra {6} ^ \ text {o} [/ math]. Podemos ver claramente que como el valor del paso es racional no entero , las manecillas de un reloj analógico regular generalmente nunca están en un ángulo de valor entero .

Por lo tanto, para responder la pregunta en su verdadero sentido, los tiempos exactos en los que se requerirá la asunción de un reloj con un recuento mínimo significativamente menor, que corresponde a una precisión permisible (generalmente [matemáticas] \ text {ms} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ mu \ text {s} [/ matemáticas]).

Escribí la siguiente herramienta para obtener los tiempos correspondientes a un ángulo formado por las manecillas del reloj:

Ejecute clockangletheta.py

Puede probarlo por sí mismo (aparte de [matemática] 90 ^ \ text {o} [/ matemática], esta herramienta también funciona para ángulos con valores enteros de [matemática] 0 ^ \ text {o} [/ matemática] a [ matemáticas] 180 ^ \ text {o} [/ matemáticas]).

A continuación se muestra la salida de la herramienta que proporciona los tiempos (que se redondean a milisegundos) en un período de 12 horas cuando las manecillas del reloj están en ángulo [matemático] 90 ^ \ text {o} [/ matemático].

Introduzca el ángulo deseado (en grados): 90

Veces en un período de 12 horas cuando el ángulo entre la hora …
y manecillas de minutos equivalen a 90 grados:

Sr | hh: mm: ss
—- | ————–
1 | 0: 16: 21.818
2 | 0: 49: 5.455
3 | 1: 21: 49.091
4 | 1: 54: 32.727
5 | 2: 27: 16.364
6 | 3: 0: 0.000
7 | 3: 32: 43.636
8 | 4: 5: 27.273
9 | 4: 38: 10.909
10 | 5: 10: 54.545
11 | 5: 43: 38.182
12 | 6: 16: 21.818
13 6: 49: 5.455
14 7: 21: 49.091
15 | 7: 54: 32.727
16 8: 27: 16.364
17 9: 0: 0.000
18 9: 32: 43.636
19 10: 5: 27.273
20 | 10: 38: 10.909
21 | 11: 10: 54.545
22 | 11: 43: 38.182

Duración de la repetición del evento = 0: 32: 43.636

Se puede ver que el evento se repite después de un poco más de cada 30 min. En un día, las manecillas del reloj están en ángulo [matemático] 90 ^ \ text {o} [/ matemático] 44 veces .

PD: Parece que 42 no podría ser la respuesta a la última pregunta.

Answer 2

Sabemos que los arreglos se repiten cada [matemáticas] 12 [/ matemáticas] horas ([matemáticas] 720 [/ matemáticas] minutos). Tratemos de generalizar el problema: en un lapso de [matemática] 12 [/ matemática] horas, ¿cuántas veces la manecilla de minutos forma un ángulo [matemática] \ pm \ theta [/ matemática] con la manecilla de hora?

En un momento determinado del reloj, deje que el ángulo que forma la manecilla de los minutos con la manecilla de las horas sea [matemática] \ theta [/ matemática]. La manecilla de minutos avanza [matemática] 6 ^ o [/ matemática] una vez cada minuto. La manecilla de horas avanza [matemáticas] 0.5 ^ o [/ matemáticas] cada minuto. A partir de ahí, si han transcurrido [matemática] n [/ matemática] minutos, entonces el ángulo que forma la manecilla de minutos con la manecilla de horas es [matemática] \ theta + (6n – 0.5n) \ mod 360, [/ matemática] donde [ math] 1 \ leq n <720, n \ in \ mathbb {N} [/ math].

Para saber cuándo nuevamente la manecilla de minutos forma el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] con la manecilla de horas, debemos resolver para [matemática] n [/ matemática] la ecuación

[matemáticas] (6n – 0.5n) \ mod 360 = 0 \ implica 11n = 720k. [/ matemáticas]

Por lo tanto, no existe una solución para n en enteros. Tenga en cuenta que la condición es independiente de [math] \ theta [/ math].

Por lo tanto, el incidente de que la manecilla de las horas forma un cierto ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] con la manecilla de minutos en un lapso de [matemática] 12 [/ matemática] ocurre solo una vez.

Lo mismo ocurre con [matemáticas] – \ theta [/ matemáticas] (no necesitamos resolver esto por separado porque de todos modos es independiente del ángulo). Por lo tanto, en un lapso de [matemáticas] 12 [/ matemáticas] horas, los minutos y la manecilla de las horas forman ángulos rectos entre sí exactamente dos veces. Eso es [matemáticas] 4 [/ matemáticas] veces en un día .

Actualización : creo que me confundí. El movimiento del minutero es uniforme. Son los segundos los que marcan. Entonces mi solución no se alinea con las observaciones. Sin embargo, lo mantengo porque es una solución matemáticamente importante. También es la solución correcta para el ángulo entre los minutos y la manecilla de segundos.

Answer 3

44 veces

Después de 24 ciclos, la mano larga ha superado a la mano corta 22 veces, porque la mano corta solo se movió dos veces.

Por lo tanto, son 22 veces al día paralelas, 22 veces antiparalelas y, por lo tanto, 44 veces al día ortogonales (22 veces en un ángulo relativo de [matemáticas] 90 ^ {\ circ} [/ matemáticas] y 22 veces [matemáticas] 270 ^ {\ circ} [/ math]).

Answer 4

Cada hora, la manecilla de los minutos se mueve 360 ​​grados, y la manecilla de las horas se mueve 30 grados. Entonces su separación cambia en 330 grados por hora. Esto significa que la separación aumenta 90 grados cada 3/11 horas. Eso es cada 16 minutos, 21.81818 segundos.

A partir de la medianoche, cuando las manos están alineadas, el primer ángulo recto ocurre 16 minutos, 21.81 segundos más tarde a las

00: 16: 21.81

Desde este punto, podemos agregar intervalos de 32 minutos, 43.6363 segundos para encontrar los otros tiempos:

00: 49: 05.454

01: 21: 49.090

01: 54: 32.726

02: 27: 16.362

02: 59: 59.998

03: 32: 43.634

04: 05: 27.270

04: 38: 10.906

05: 10: 54.542

05: 43: 38.178

06: 16: 21.814

06: 49: 05.450

07: 21: 49.086

07: 54: 32.722

08: 27: 16.358

08: 59: 59.994

09: 32: 43.630

10: 05: 27.266

10: 38: 10.902

11: 10: 54.538

11: 43: 38.174

…

y el mismo patrón se repite en las horas PM.

Como otros han señalado, hay 44 de esos momentos cada día.

Answer 5

La manecilla de minutos realiza un giro completo cada 60 minutos, o 3600 segundos. Esto significa que su velocidad angular es [matemática] \ frac {360} {3600} = \ frac {1} {10} [/ matemática] grados / seg.

La manecilla de horas realiza un giro completo cada 12 horas, o 43′200 segundos. Su velocidad angular es [math] \ frac {360} {43200} = \ frac {1} {120} [/ math] deg / sec.

Como las dos manos se mueven en la misma dirección, para encontrar la velocidad de la manecilla de los minutos en relación con la otra, debes restarlas.

[matemáticas] v_ {rel} = \ frac {1} {10} – \ frac {1} {120} = \ frac {11} {120} [/ matemáticas]

(En grados por segundo). La primera vez que la manecilla de minutos está en un ángulo de 90 grados con respecto a la manecilla de horas ocurre cuando [matemática] v_ {rel} \ cdot t = 90 [/ matemática], o si lo prefiere, [matemática] t = \ frac {90} {v_ {rel}} [/ math]. Esto sucede a t = 981 segundos, o después de poco más de 16 minutos. (A las 00: 16: 21,8).

Cada dos veces las dos manos están perpendiculares entre sí, después de que se hayan movido 180 grados una respecto de la otra. Esto sucede cada [matemáticas] \ frac {180} {v_ {rel}} [/ matemáticas] segundos, o 1963,636 segundos (32 minutos y 43,6 segundos). Entonces, la segunda vez que están en un ángulo de 90 grados es a las 00: 49: 05,4. El tercero es a las 1:21:49. Y así.

Esto solo puede suceder [matemática] \ frac {3600 \ cdot 24} {1963} [/ matemática] veces al día, es decir 44 veces.