¿Por qué cada triángulo tiene un circuncentro único?

Answer 1

Euclides construyó el círculo circunferencial y circuncentro de un triángulo en sus Elementos, Libro IV, Proposición 5.

Deje que [math] ABC [/ math] sea el triángulo dado. Dibuje bisectrices perpendiculares [matemática] DF \ perp AB [/ matemática] y [matemática] EF \ perp AC [/ matemática] reunidas en el punto [matemática] F [/ matemática]. En este punto de su prueba, Euclides tomó tres casos dependiendo de si [matemática] F [/ matemática] estaba dentro del triángulo [matemática] ABC [/ matemática] mostrada a continuación, en el lado [matemática] BC [/ matemática], o fuera del triángulo. Luego argumentó que [matemática] AF [/ matemática], [matemática] BF [/ matemática] y [matemática] CF [/ matemática] son ​​todos iguales de modo que el círculo con centro [matemática] F [/ matemática] y que La distancia como radio era el círculo circunferencial.

Su pregunta es por qué no puede haber otro círculo con un centro diferente que pase por [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] B [/ matemáticas] y [matemáticas] C [/ matemáticas]. Euclides no lo demostró, pero no es difícil.

Usaremos el mismo diagrama, pero lo construiremos en un orden diferente. Comenzamos con el triángulo [matemáticas] ABC [/ matemáticas] y un punto [matemáticas] F [/ matemáticas] equidistante a los tres vértices. Dibuje perpendiculares [math] FD \ perp AB [/ math] y [math] FE \ perp AC [/ math]. Los triángulos [matemática] FDA [/ matemática] y [matemática] FDB [/ matemática] son ​​congruentes ya que son triángulos rectángulos con una pata igual y una hipotenusa igual. Por lo tanto, [math] AD = BD [/ math], entonces [math] DF [/ math] es la bisectriz perpendicular de [math] AB [/ math]. Del mismo modo, [math] EF [/ math] es la bisectriz perpendicular de [math] AC [/ math]. Por lo tanto, el circuncentro es el punto en la prueba de Euclides, la intersección de dos bisectrices perpendiculares de dos lados del triángulo.

Estas pruebas también muestran que la tercera bisectriz perpendicular también pasa a través del circuncentro.

Answer 2

Supongo que te refieres a que cada triángulo tiene 1 circuncentro:

En pocas palabras, 3 puntos definen un círculo, y un triángulo tiene 3 puntos: sus vértices.

Una explicación más larga: queremos encontrar un punto para que la distancia desde ese punto a cada uno de los vértices sea igual. Tome dos vértices y dibuje una línea para que todos los puntos en esa línea sean equidistantes de los dos vértices. Esta línea biseca perpendicularmente uno de los lados del triángulo. Haz esto con otros dos vértices. Considere las dos líneas que acaba de dibujar. Solo puede haber 1 intersección entre ellos. Ese es el circuncentro.

Answer 3

Creo que conoces este teorema.
Establece que, un círculo único es posible a través de cualquiera de los tres puntos en un plano. Entonces, si un círculo tiene solo un centro, entonces un tringle que sea posible a través de cualquiera de los tres puntos tendrá solo un circuncentro.
Creo que es lógico 🙂

Answer 4

Establece que, un círculo único es posible a través de cualquiera de los tres puntos en un plano. Entonces, si un círculo tiene solo un centro, entonces un tringle que sea posible a través de cualquiera de los tres puntos tendrá solo un circuncentro.

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Answer 5

Porque las tres bisectrices perpendiculares del triángulo se encuentran en el mismo punto.