La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las configuraciones de los objetos geométricos: los puntos, las líneas (rectas) y los círculos son los más básicos. Aunque la palabra geometría se deriva del griego geo (tierra) y metrón (medida) [Palabras], que señala sus raíces prácticas, Platón ya sabía diferenciar entre el arte de la medición que se usa en la construcción y la geometría filosófica [Filebo (57). )]. Anteriormente en el diálogo [Filebo (51)], Sócrates menciona el asunto de la belleza:
En otro diálogo, Fedro (274), Sócrates atribuye la creación de geometría, aunque en compañía de otras artes, al dios Theuth que residía en la ciudad egipcia de Naucratis. A decir verdad, Fedro cuestiona el relato de Sócrates de inmediato: “Sí, Sócrates, puedes inventar fácilmente cuentos de Egipto o de cualquier otro país”. Pero incluso si no es de origen divino, los objetos de geometría no se encuentran en el mundo físico. Son puras abstracciones, creaciones de la mente humana.
Alrededor de 300 AC, Euclides dio las definiciones de puntos y líneas que resistieron dos milenios de estudio diligente. Los matemáticos del siglo XIX los encontraron carentes. Según Euclides, un punto es aquello que no tiene parte. Como F. Klein [Klein, p. 196] señala que “un punto no está determinado de ninguna manera por esta propiedad sola”. Según Euclides, una línea es longitud sin amplitud. Incluso si la longitud y la amplitud se aceptan como nociones básicas, la definición de Euclides entra en conflicto con la existencia de curvas que cubren una superficie [Klein, p. 196]. Según Euclides, una línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con respecto a sus puntos, que Klein [ibid] encuentra completamente oscura. Klein hace un esfuerzo considerable para descubrir y explicar las deficiencias en los Elementos de Euclides. B. Russell dio una crítica menos benevolente pero aún muy accesible, que se puede encontrar en The Changing Shape of Geometry de C. Pritchard [Pritchard, pp. 486-488]. Klein, por ejemplo, señala que una proposición tan simple como la afirmación de que dos círculos que atraviesan el centro del otro en dos puntos no es derivable de los postulados de Euclides sin un salto de fe.
Las matemáticas modernas encontraron dos formas de remediar las deficiencias y colocar la geometría sobre una base sólida. Primero, los matemáticos han perfeccionado el enfoque axiomático de los Elementos de Euclides. Llegaron a la conclusión de que es imposible y de hecho inútil intentar definir nociones tan básicas como puntos y líneas. En geometría analítica, por otro lado, tanto los puntos como las líneas son perfectamente definibles. Sin embargo, la geometría analítica no contiene “axiomas geométricos” y se basa en la teoría de conjuntos y números.
El trabajo más influyente en la axiomatización de la geometría se debe a D. Hilbert (1862-1943). En Fundamentos de la geometría, que apareció en 1899, enumeró 21 axiomas y analizó su importancia. Los axiomas de Hilbert para la geometría plana se pueden encontrar en un apéndice de [Cederberg, pp. 205-207] junto con una axiomatización poco ortodoxa, pero corta, de GD Birkhof [Birkhof, Cederberg, pp. 208-209] y una posterior, influenciada por el de Birkhof, por el SMSG (School Mathematics Study Group) [Cederberg, pp. 210-213]. (El Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares se creó en la década de 1960 como respuesta al éxito del programa espacial soviético y la necesidad percibida de mejorar la educación matemática en los Estados Unidos. El esfuerzo condujo al ahora difunto programa New Math).
A diferencia de los Elementos de Euclides, las teorías axiomáticas modernas no intentan definir sus objetos, puntos y líneas más fundamentales en caso de geometría. La razón es obvia hoy en día: todas las definiciones posibles aparentemente incluirían términos aún más fundamentales, que requerirían definiciones propias, y así sucesivamente hasta el infinito. En cambio, la comprensión de los términos fundamentales, es decir, indefinidos, se basa en su uso en los axiomas y en sus propiedades que surgen de teoremas probados posteriormente. Por ejemplo, la afirmación de la existencia de una línea recta a través de dos puntos, la unicidad de dicha línea o la afirmación de que dos líneas se encuentran como máximo en un punto, nos dicen algo sobre los puntos y las líneas sin definir realmente qué estos son. (Los dos primeros son los axiomas I.1 y I.2 de Hilbert, mientras que el último es consecuencia de los dos primeros).
El uso de los términos indefinidos, en el párrafo anterior, ciertamente cumple con nuestra expectativa e intuición del significado de los términos puntos y líneas. Sin embargo, dependiendo de la intuición puede ser engañoso, como, por ejemplo, en geometría proyectiva, de acuerdo con el Principio de Dualidad, todas las ocurrencias de los dos términos en los axiomas y teoremas son intercambiables.
La geometría moderna es, por lo tanto, una abstracción completa que cristaliza nuestras ideas del mundo físico, es decir, para empezar. Digo “para empezar”, porque la mayoría del edificio construido sobre los axiomas elegidos no refleja nuestras experiencias comunes. Los matemáticos que trabajan con los objetos abstractos desarrollan una intuición y conocimientos sobre un mundo separado de abstracción habitado por objetos matemáticos. Aún así, su intuición y la necesidad de comunicar sus ideas a menudo se fomentan mediante la representación pictórica de configuraciones geométricas en las que los puntos generalmente se representan con puntos y las líneas rectas se dibujan con una regla y un lápiz. Debe entenderse que, por afilado que sea un lápiz, un dibujo es solo una representación de una configuración abstracta. Bajo una lupa, las líneas en el dibujo aparecerán menos delgadas y su intersección no se verá como un punto pensado para representar un punto abstracto.
Si fuera posible, colocar una lupa frente al ojo de nuestra mente no cambiaría la apariencia de los puntos y líneas, independientemente de cuán fuerte pueda ser la ampliación. Esto probablemente no sea muy diferente del significado que Euclides podría haber querido imputar a los objetos que había tratado de definir. La diferencia no está en la imagen de los objetos geométricos, sino en la comprensión tardía de que la definición no solo no siempre es posible, sino que incluso puede no ser necesaria para la construcción de una teoría.
Como una palabra de precaución, los diagramas proporcionan una herramienta importante en las investigaciones geométricas, pero pueden sugerir hechos erróneos si no están acompañados por un razonamiento deductivo. (Peor aún, un razonamiento deductivo defectuoso puede conducir accidentalmente a hechos correctos, en cuyo caso puede que no tenga en cuenta las formas frívolas en que se obtuvo un hecho correcto).
El segundo enfoque para resolver inconsistencias en los Elementos llegó con el advenimiento de la geometría analítica, una gran invención de Descartes y Fermat. En la geometría analítica plana, por ejemplo, los puntos se definen como pares de números ordenados, por ejemplo, (x, y), mientras que las líneas rectas se definen a su vez como los conjuntos de puntos que satisfacen ecuaciones lineales, vea excelentes exposiciones de D. Pedoe o D. Brannan y col.
Hay muchas geometrías Todos estos comparten algunos elementos básicos y propiedades. Incluso las geometrías finitas tratan con puntos y líneas y, universalmente, solo una línea puede pasar por dos puntos dados. Por lo tanto, creo que un término de uso frecuente “Geometría de taxi” es un nombre inapropiado. La métrica del taxi es un concepto matemático útil que convierte el plano en un espacio métrico, de muchas maneras. Lo cual, aún, no lo convierte en una geometría.