Orientable significa que puede definir dos orientaciones diferentes. Puede llamarlos regla de la mano derecha y regla de la mano izquierda, o en sentido horario y antihorario, o [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática].
La definición formal de orientación en una variedad es difícil. Ver ¿Qué significa para un múltiple estar orientado? en StackExchange en términos de formas, u Orientación de múltiples en el Manifold Atlas Project en términos de topología algebraica.
El caso especial de superficies en 3 espacios se puede expresar más fácilmente. En una vecindad de un punto en esa superficie, hay dos lados de la superficie que puede identificar con los dos rayos que forman la línea normal a la superficie en ese punto. La línea normal a la superficie es la línea perpendicular al plano tangente.
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Fuente de la imagen: hypar.html
En la imagen, la línea azul es la línea normal perpendicular al plano tangente amarillo. Hay dos direcciones que puede seguir a lo largo de esa línea, y se pueden identificar con las dos orientaciones que puede elegir en ese punto.
Puede orientar un parche de la superficie si elige orientaciones (rayos) en cada punto continuamente. Lo que estás haciendo es elegir un lado de ese parche de superficie. Por ejemplo, en el hiperboloide anterior, puede elegir los rayos que apuntan hacia arriba y que nombra el lado superior, o los rayos que apuntan hacia abajo para nombrar el lado inferior.
Si puede hacer eso para toda la superficie, esa es una orientación de la superficie. Nombra un lado de la superficie. Si tiene una orientación, entonces hay una orientación diferente nombrada por los rayos opuestos.
Aquí hay un toro. Es orientable, y una orientación se muestra con flechas que nombran la superficie exterior del toro. También hay una superficie interior.
Aquí hay una tira de Möbius. No es orientable. Para cualquier parche pequeño hay dos orientaciones, es decir, dos lados, pero no hay orientación para toda la superficie. No puede dibujar flechas en cada punto normal a la superficie de manera consistente para toda la superficie. Si lo intentas, cuando recorras la superficie una vez, encontrarás que tu flecha apunta en la dirección opuesta.
Mathloger explica la no orientabilidad de la tira de Möbius. Lo ilustra con Mario Karts a las 6:50.