El problema se vuelve difícil por el hecho de que el cubo puede girar. Entonces, definitivamente no es [matemáticas] 8! [/ Matemáticas].
Consideremos que todas las bolas son de diferentes colores. Vamos a arreglar un vértice para la bola roja. Podemos colocar otras tres bolas en los vértices conectados por los bordes a la bola roja, así.
Solo importa el orden cíclico en su disposición relativa. Entonces, equivale a elegir tres colores de [matemática] 7 [/ matemática], que es [matemática] \ displaystyle \ binom {7} {3} [/ matemática] y luego sus arreglos en un círculo que es [matemática] \ dfrac {3!} {3} = 2 [/ matemáticas].
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Ahora, las otras cuatro posiciones son todas especiales. Cada posición que obtiene una bola de color diferente dará como resultado un cubo diferente. Eso es [matemáticas] 4! [/ Matemáticas] formas.
Por lo tanto, el número total de arreglos se convierte en
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {7} {3} \ veces 4! \ veces 2 = 1680 [/ matemáticas].