La hiperesfera es la “esfera” en dimensiones superiores o dimensiones arbitrarias. Una hiperesfera 2D es un círculo, una hiperesfera 3D es una esfera y una hiperesfera 4D es la figura equivalente en 4D. Es decir, una forma que tiene una “superficie” 3D y que, por lo demás, es como una esfera, es decir, la ecuación matemática es [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]. Donde r es el radio y las coordenadas son x, y, z y w.
Si el universo tiene una curvatura positiva para que sea curva en lugar de plana, entonces la esfera 4D de la que es la superficie del universo está de acuerdo con esa ecuación. Sin embargo, hasta donde sabemos, el universo es casi plano o exactamente plano, por lo que si está curvado, el radio de esa curvatura es inmenso, por lo que lo medimos como 0.000 … y si hay algún dígito distinto de cero allí aún no lo he encontrado y cuanto menor es la curvatura, mayor es el radio si es realmente positivo en lugar de 0. La curvatura es esencialmente [matemática] 1 / r [/ matemática] así que si k está cerca de 0, entonces [matemática] r = 1 / k [/ math] debe ser enorme. Lo mismo ocurre si la curvatura es negativa y la geometría es un universo hiperbólico en lugar de esférico: nuevamente, el “radio” es enorme, ya que el universo se mide como plano hasta donde podemos ver.
Esto es básicamente para lo que una hiperesfera de dimensión 4D o superior es buena, por lo que sé, más allá de investigar las propiedades matemáticas de la misma. Como vivimos en un mundo 3D, nunca podremos experimentar una figura 4D, por lo que no hay aplicaciones del mundo real más allá de lo que nos darían varios modelos de realidad que están más allá de 3D.
Sin embargo, al considerar las hiperesferas 2D y 3D también podemos ver algunas similitudes entre círculos y esferas: por ejemplo, la relación entre la circunferencia y el área de un círculo es que la circunferencia es la derivada del área con respecto al radio. Lo mismo es cierto para una esfera 3D. La superficie es la derivada del volumen con respecto al radio. Esto podría llevarlo a sospechar que la superficie 3D de una esfera 4D es la derivada del volumen 4D de esa esfera 4D con respecto al radio: ¡bingo, tiene razón!
- ¿Se cruzan los ejes magnéticos y geográficos de la Tierra? En caso afirmativo, ¿se cruzan en su centro geométrico? ¿Por qué?
- ¿Qué vino primero: un círculo o pi?
- ¿El quinto postulado de euclides se mantiene en el espacio de Minkowski?
- ¿Cuál es el objeto o proceso más interesante en geometría de cuatro dimensiones?
- ¿Qué es exactamente la orientabilidad?
Relaciones como esta son fascinantes y te dicen algo fundamental sobre la realidad y es entonces cuando aprecias el poder de las matemáticas.