¿Cuál es un tema matemático interesante para presentar a su clase con el cálculo como límite superior del conocimiento?

Aquí hay algunas ideas.

Para una presentación más corta, podría presentar algunas funciones interesantes, como una función que es diferenciable en un punto pero discontinua en cualquier otro lugar, una función que no es diferenciable pero continua en todas partes, y la función Cantor.

Con un poco de trabajo, podría dar una prueba de la fórmula de Euler y utilizarla para implicar la famosa identidad de Euler. Puede conectarlo al cálculo con una breve discusión de las series de Taylor que se utilizan en la prueba.

Puede hacer una presentación no relacionada con el cálculo, como mostrar que puede cuadrar un cuadrado pero no puede hacer un cubo.

Podrías sorprender a todos mostrándoles que hay diferentes tamaños de infinito.

Si no quiere demostrar nada más que presentar algo interesante, puede hacer una presentación sobre el último teorema de Fermat o la secuencia de Fibonacci y sus ocurrencias en la naturaleza y la conexión con la proporción áurea.

Si quieres mostrar algo realmente bonito y genial, haz una presentación sobre fractales. Pueden ser una de las cosas más bellas de las matemáticas, al menos que podemos ver.

Espero que eso ayude.

Hay varios temas que podrían ser interesantes. Si desea asociarlo con el cálculo, seleccionaría él ‘Calculus War’s. Hubo una desagradable batalla personal entre Newton y Leibniz. Ambos parecen haber descubierto / inventado el cálculo aproximadamente al mismo tiempo y ambos (especialmente Newton) tenían un ego tremendo. Los argumentos continuaron durante años e incluso fueron cubiertos en los periódicos.

Un segundo tema es el matemático indio Ramanujan. Su historia es asombrosa. Puede ser más actual ya que vivió en el siglo XX. Murió muy joven. Hay discusiones de que puede haber sido la persona más inteligente que haya vivido.

No estoy seguro de ti, pero te mostraría cómo resolver las ecuaciones cúbicas y bi-cuadráticas. En parte porque este es un conocimiento que no es fácil de obtener e incluso las personas con educación superior en matemáticas no saben cómo resolver esas ecuaciones y recurrir a métodos numéricos, etc.

Resolver la ecuación cúbica es bastante fácil y directo. Mi método favorito es este:

Problema: Resuelva [matemáticas] Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 [/ matemáticas]

Primero, si [matemática] A = 0 [/ matemática] es realmente una ecuación cuadrática simple que supongo que ya sabe cómo resolver.

Suponiendo que A no es 0, se puede dividir por A por todas partes, excepto que dividimos B con 3A en lugar de solo A para obtener un coeficiente de 3 al frente. Entonces, estableciendo [matemática] b = B / (3A), c = C / A [/ matemática] y [matemática] d = D / A [/ matemática] obtenemos:

[matemáticas] x ^ 3 + 3bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas]

Ahora sustituya [math] x = y – b [/ math] para que obtengamos una ecuación para y con soluciones [math] y_1, \, y_2 [/ math] y [math] y_3 [/ math] conectando valores para y entonces obtenemos [matemáticas] x_1 = y_1 – b [/ matemáticas] y así sucesivamente como soluciones para x de la ecuación original.

Esto da [matemáticas] (yb) ^ 3 + 3b (yb) ^ 2 + c (yb) + d = 0 [/ matemáticas] o

[matemáticas] y ^ 3 – 3by ^ 2 + 3b ^ 2y – b ^ 3 + 3by ^ 2 – 6b ^ 2y + 3b ^ 3 + cy – bc + d = 0 [/ math]

[matemáticas] y ^ 3 + (-3b + 3b) y ^ 2 + (3b ^ 2 – 6b ^ 2 + c) y + (-b ^ 3 + 3b ^ 3 – bc + d) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] y ^ 3 + (c – 3b ^ 2) y + (d – bc + 2b ^ 3) = 0 [/ matemática]

Por lo tanto, establecer [matemáticas] p = b ^ 2 – c / 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] q = d – bc + 2b ^ 3 [/ matemáticas] significa que esto es equivalente a:

[matemáticas] y ^ 3 – 3py + q = 0 [/ matemáticas]

Ahora, si [matemática] p = 0 [/ matemática] esta es una ecuación simple para resolver, los tres valores son z, Fz y Gz donde F y G son las dos soluciones a la ecuación [matemática] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemática] y z es un número tal que [matemática] z ^ 3 = q [/ matemática] es decir, z es la raíz cúbica de q. [matemática] F = -1/2 + \ sqrt {3} / 2 i [/ matemática] y [matemática] G = -1/2 – \ sqrt {3} / 2 i [/ matemática] donde [matemática] i = \ sqrt {-1} [/ math] es el número tal que [math] i ^ 2 = -1 [/ math] es la unidad imaginaria.

Si p! = 0 podemos establecer y = u + v y ver qué obtenemos:

[matemáticas] (u + v) ^ 3 + 3py + q = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 + q + 3uv (u + v) – 3py = 0 [/ matemáticas] así que si [matemática] u ^ 3 + v ^ 3 + q = 0 [/ matemática] y [matemática] uv – p = 0 [/ matemática] estos valores para u y v resolverán la ecuación. este último nos da que [matemática] uv = p [/ matemática] o [matemática] u ^ 3v ^ 3 = p ^ 3 [/ matemática] y tenemos un producto y una suma que da valores conocidos, necesitamos encontrar los dos valores que dan ese producto y suma.

[matemáticas] u ^ 6 + u ^ 3v ^ 3 + qu ^ 3 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] u ^ 6 + p ^ 3 + qu ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, esta es una ecuación de grado 6 pero en realidad es una ecuación cuadrática en [matemáticas] u ^ 3 [/ matemáticas] así que si establecemos [matemáticas] U = u ^ 3 [/ matemáticas] obtenemos:

[matemática] U ^ 2 + qU + p ^ 3 = 0 [/ matemática] y esta es una ecuación cuadrática con dos soluciones U y V pero solo necesitamos una solución, por lo que dejar caer V (usando V en lugar de U solo cambiaría soluciones) y luego tomar la raíz cúbica de U obtenemos tres soluciones u, Fu y Gu. Cada uno de estos es tal que [matemática] uv = p [/ matemática] o [matemática] v = p / u [/ matemática] por lo que obtenemos v es p / u, p / (Fu) = G (p / u) y p / (Gu) = F (p / u).

Esto se debe a que FG = 1, entonces F = 1 / G y viceversa.

Todo esto da [matemática] y_1 = u + v, y_2 = Fu + Gv [/ matemática] y [matemática] y_3 = Gu + Fv [/ matemática] y luego puede calcular las tres soluciones para x usando [matemática] x = y – b [/ matemáticas].

La solución para la ecuación de cuarto grado es más complicada, pero sobre todo es lo mismo una vez más. Solución para x:

[matemáticas] Ax ^ 4 + Bx ^ 3 + Cx ^ 2 + Dx + E = 0 [/ matemáticas]

De nuevo, si A = 0 realmente tienes una ecuación cúbica que mostré cómo resolver justo arriba.

Si A no es 0, divida por A en todas partes, excepto que B se divide por 4A en lugar de A, de modo que obtenemos un coeficiente de 4 delante de b. Es decir [matemáticas] b = B / (4A), c = C / A, d = D / A y e = E / A [/ matemáticas] Tenga en cuenta que e aquí no es el número 2.71828182843 ,,, pero es solo el nombre del factor constante de la ecuación.

Esto da:

[matemáticas] x ^ 4 + 4bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemáticas]

Nuevamente, establecer [math] x = yb [/ math] te da:

[matemáticas] y ^ 4 – 4by ^ 3 + 6b ^ 2y ^ 2 – 4b ^ 3y + b ^ 4 + 4by ^ 3 – 12b ^ 2y ^ 2 + 12b ^ 3y – 4b ^ 4 + cy ^ 2 – 2bcy + b ^ 2c + dy – bd + e = 0 [/ matemáticas]

al cancelar términos y combinar términos obtenemos:

[matemáticas] y ^ 4 + (c – 12b ^ 2 + 6b ^ 2) y ^ 2 + (d – 2bc + 12b ^ 3 – 4b ^ 3) y + (e – bd + b ^ 2c + b ^ 4 – 4b ^ 4) = 0 [/ matemáticas]

Configuración [matemática] p = c – 6b ^ 2 [/ matemática], [matemática] q = d – 2bc + 8b ^ 3 [/ matemática] y [matemática] r = e – bd + b ^ 2c – 3b ^ 4 [ / math] te da:

[matemáticas] y ^ 4 + py ^ 2 + qy + r = 0 [/ matemáticas].

Ahora, si q = 0, esta es una ecuación cuadrática en [matemática] y ^ 2 [/ matemática] que se puede resolver y para cada una de las dos soluciones se puede sacar la raíz cuadrada y la negativa para obtener 4 soluciones para y.

Si q no es 0, tenemos que hacerlo de la manera difícil. Considerar:

[matemáticas] (y ^ 2 – z) ^ 2 – (mi + n) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Multiplicar esto te da:

[matemática] y ^ 4 – 2zy ^ 2 + z ^ 2 – m ^ 2y ^ 2 – 2mny – n ^ 2 = 0 [/ math] o

[matemáticas] y ^ 4 – (2z + m ^ 2) y ^ 2 – 2mny + (z ^ 2 – n ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

entonces si [matemática] p = -2z – m ^ 2 [/ matemática], [matemática] q = -2mn [/ matemática] y [matemática] r = z ^ 2 – n ^ 2 [/ matemática] las dos ecuaciones en y son equivalentes y una solución para uno es una solución para el otro. Esto significa que si [matemática] m ^ 2 = -2z – p [/ matemática] y [matemática] n ^ 2 = z ^ 2 – r [/ matemática] obtenemos [matemática] m ^ 2n ^ 2 = (-2z – p) (z ^ 2 – r) = -2z ^ 3 – pz ^ 2 + 2rz + pr = (2mn) ^ 2/4 = q ^ 2/4 [/ math] esta es una ecuación cúbica en z que puede resolver y nuevamente solo necesitamos una solución. Elegir una de las otras dos soluciones solo permutará las soluciones que obtenemos. Entonces, si z es la solución que encontramos para resolver esta ecuación cúbica, entonces podemos encontrar [matemáticas] m ^ 2 = -2z – r [/ matemáticas] y nuevamente podemos elegir la raíz cuadrada positiva o negativa, eligiendo la otra simplemente cambie qué solución es [matemática] y_1 [/ matemática] y así sucesivamente. Dado z y m ahora podemos calcular [matemáticas] n = -q / (2m) [/ matemáticas] y ahora que sabemos z, m y n podemos expresar la ecuación para y en términos de z, m y n pero eso La ecuación es fácil de resolver ya que nos da dos ecuaciones cuadráticas:

] matemáticas] y ^ 2 – z = my + n [/ matemáticas] y [matemáticas] y ^ 2 – z = -my – n [/ matemáticas] y las dos soluciones de cada una de estas son las 4 soluciones para la ecuación y luego establecer [math] x = y – b [/ math] le da las cuatro soluciones para la ecuación original.

Chohc debe ser xhohx.

Una de las cosas realmente interesantes que puede hacer con las matemáticas, especialmente la geometría, la trigonometría y el cálculo, es convertirlo en arte a través de la capacidad de gráficos de Microsoft Excel. Doy ejemplos de cómo hacer esto en mis muchos artículos en Cómo hacer cualquier cosa bajo las identificaciones de xhohx y Chris-Garthwaite, para lo cual ahora tengo 738,069 vistas de artículos al 9 de mayo de 2016. Eso es un “tamaño de clase” de alrededor de 750 “estudiantes” por día, que es considerablemente más que un profesor de matemáticas promedio o un profesor inédito.