No estoy seguro de ti, pero te mostraría cómo resolver las ecuaciones cúbicas y bi-cuadráticas. En parte porque este es un conocimiento que no es fácil de obtener e incluso las personas con educación superior en matemáticas no saben cómo resolver esas ecuaciones y recurrir a métodos numéricos, etc.
Resolver la ecuación cúbica es bastante fácil y directo. Mi método favorito es este:
Problema: Resuelva [matemáticas] Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 [/ matemáticas]
Primero, si [matemática] A = 0 [/ matemática] es realmente una ecuación cuadrática simple que supongo que ya sabe cómo resolver.
Suponiendo que A no es 0, se puede dividir por A por todas partes, excepto que dividimos B con 3A en lugar de solo A para obtener un coeficiente de 3 al frente. Entonces, estableciendo [matemática] b = B / (3A), c = C / A [/ matemática] y [matemática] d = D / A [/ matemática] obtenemos:
[matemáticas] x ^ 3 + 3bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas]
Ahora sustituya [math] x = y – b [/ math] para que obtengamos una ecuación para y con soluciones [math] y_1, \, y_2 [/ math] y [math] y_3 [/ math] conectando valores para y entonces obtenemos [matemáticas] x_1 = y_1 – b [/ matemáticas] y así sucesivamente como soluciones para x de la ecuación original.
Esto da [matemáticas] (yb) ^ 3 + 3b (yb) ^ 2 + c (yb) + d = 0 [/ matemáticas] o
[matemáticas] y ^ 3 – 3by ^ 2 + 3b ^ 2y – b ^ 3 + 3by ^ 2 – 6b ^ 2y + 3b ^ 3 + cy – bc + d = 0 [/ math]
[matemáticas] y ^ 3 + (-3b + 3b) y ^ 2 + (3b ^ 2 – 6b ^ 2 + c) y + (-b ^ 3 + 3b ^ 3 – bc + d) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] y ^ 3 + (c – 3b ^ 2) y + (d – bc + 2b ^ 3) = 0 [/ matemática]
Por lo tanto, establecer [matemáticas] p = b ^ 2 – c / 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] q = d – bc + 2b ^ 3 [/ matemáticas] significa que esto es equivalente a:
[matemáticas] y ^ 3 – 3py + q = 0 [/ matemáticas]
Ahora, si [matemática] p = 0 [/ matemática] esta es una ecuación simple para resolver, los tres valores son z, Fz y Gz donde F y G son las dos soluciones a la ecuación [matemática] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemática] y z es un número tal que [matemática] z ^ 3 = q [/ matemática] es decir, z es la raíz cúbica de q. [matemática] F = -1/2 + \ sqrt {3} / 2 i [/ matemática] y [matemática] G = -1/2 – \ sqrt {3} / 2 i [/ matemática] donde [matemática] i = \ sqrt {-1} [/ math] es el número tal que [math] i ^ 2 = -1 [/ math] es la unidad imaginaria.
Si p! = 0 podemos establecer y = u + v y ver qué obtenemos:
[matemáticas] (u + v) ^ 3 + 3py + q = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 + q + 3uv (u + v) – 3py = 0 [/ matemáticas] así que si [matemática] u ^ 3 + v ^ 3 + q = 0 [/ matemática] y [matemática] uv – p = 0 [/ matemática] estos valores para u y v resolverán la ecuación. este último nos da que [matemática] uv = p [/ matemática] o [matemática] u ^ 3v ^ 3 = p ^ 3 [/ matemática] y tenemos un producto y una suma que da valores conocidos, necesitamos encontrar los dos valores que dan ese producto y suma.
[matemáticas] u ^ 6 + u ^ 3v ^ 3 + qu ^ 3 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] u ^ 6 + p ^ 3 + qu ^ 3 = 0 [/ matemáticas]
Ahora, esta es una ecuación de grado 6 pero en realidad es una ecuación cuadrática en [matemáticas] u ^ 3 [/ matemáticas] así que si establecemos [matemáticas] U = u ^ 3 [/ matemáticas] obtenemos:
[matemática] U ^ 2 + qU + p ^ 3 = 0 [/ matemática] y esta es una ecuación cuadrática con dos soluciones U y V pero solo necesitamos una solución, por lo que dejar caer V (usando V en lugar de U solo cambiaría soluciones) y luego tomar la raíz cúbica de U obtenemos tres soluciones u, Fu y Gu. Cada uno de estos es tal que [matemática] uv = p [/ matemática] o [matemática] v = p / u [/ matemática] por lo que obtenemos v es p / u, p / (Fu) = G (p / u) y p / (Gu) = F (p / u).
Esto se debe a que FG = 1, entonces F = 1 / G y viceversa.
Todo esto da [matemática] y_1 = u + v, y_2 = Fu + Gv [/ matemática] y [matemática] y_3 = Gu + Fv [/ matemática] y luego puede calcular las tres soluciones para x usando [matemática] x = y – b [/ matemáticas].
La solución para la ecuación de cuarto grado es más complicada, pero sobre todo es lo mismo una vez más. Solución para x:
[matemáticas] Ax ^ 4 + Bx ^ 3 + Cx ^ 2 + Dx + E = 0 [/ matemáticas]
De nuevo, si A = 0 realmente tienes una ecuación cúbica que mostré cómo resolver justo arriba.
Si A no es 0, divida por A en todas partes, excepto que B se divide por 4A en lugar de A, de modo que obtenemos un coeficiente de 4 delante de b. Es decir [matemáticas] b = B / (4A), c = C / A, d = D / A y e = E / A [/ matemáticas] Tenga en cuenta que e aquí no es el número 2.71828182843 ,,, pero es solo el nombre del factor constante de la ecuación.
Esto da:
[matemáticas] x ^ 4 + 4bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [/ matemáticas]
Nuevamente, establecer [math] x = yb [/ math] te da:
[matemáticas] y ^ 4 – 4by ^ 3 + 6b ^ 2y ^ 2 – 4b ^ 3y + b ^ 4 + 4by ^ 3 – 12b ^ 2y ^ 2 + 12b ^ 3y – 4b ^ 4 + cy ^ 2 – 2bcy + b ^ 2c + dy – bd + e = 0 [/ matemáticas]
al cancelar términos y combinar términos obtenemos:
[matemáticas] y ^ 4 + (c – 12b ^ 2 + 6b ^ 2) y ^ 2 + (d – 2bc + 12b ^ 3 – 4b ^ 3) y + (e – bd + b ^ 2c + b ^ 4 – 4b ^ 4) = 0 [/ matemáticas]
Configuración [matemática] p = c – 6b ^ 2 [/ matemática], [matemática] q = d – 2bc + 8b ^ 3 [/ matemática] y [matemática] r = e – bd + b ^ 2c – 3b ^ 4 [ / math] te da:
[matemáticas] y ^ 4 + py ^ 2 + qy + r = 0 [/ matemáticas].
Ahora, si q = 0, esta es una ecuación cuadrática en [matemática] y ^ 2 [/ matemática] que se puede resolver y para cada una de las dos soluciones se puede sacar la raíz cuadrada y la negativa para obtener 4 soluciones para y.
Si q no es 0, tenemos que hacerlo de la manera difícil. Considerar:
[matemáticas] (y ^ 2 – z) ^ 2 – (mi + n) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Multiplicar esto te da:
[matemática] y ^ 4 – 2zy ^ 2 + z ^ 2 – m ^ 2y ^ 2 – 2mny – n ^ 2 = 0 [/ math] o
[matemáticas] y ^ 4 – (2z + m ^ 2) y ^ 2 – 2mny + (z ^ 2 – n ^ 2) = 0 [/ matemáticas]
entonces si [matemática] p = -2z – m ^ 2 [/ matemática], [matemática] q = -2mn [/ matemática] y [matemática] r = z ^ 2 – n ^ 2 [/ matemática] las dos ecuaciones en y son equivalentes y una solución para uno es una solución para el otro. Esto significa que si [matemática] m ^ 2 = -2z – p [/ matemática] y [matemática] n ^ 2 = z ^ 2 – r [/ matemática] obtenemos [matemática] m ^ 2n ^ 2 = (-2z – p) (z ^ 2 – r) = -2z ^ 3 – pz ^ 2 + 2rz + pr = (2mn) ^ 2/4 = q ^ 2/4 [/ math] esta es una ecuación cúbica en z que puede resolver y nuevamente solo necesitamos una solución. Elegir una de las otras dos soluciones solo permutará las soluciones que obtenemos. Entonces, si z es la solución que encontramos para resolver esta ecuación cúbica, entonces podemos encontrar [matemáticas] m ^ 2 = -2z – r [/ matemáticas] y nuevamente podemos elegir la raíz cuadrada positiva o negativa, eligiendo la otra simplemente cambie qué solución es [matemática] y_1 [/ matemática] y así sucesivamente. Dado z y m ahora podemos calcular [matemáticas] n = -q / (2m) [/ matemáticas] y ahora que sabemos z, m y n podemos expresar la ecuación para y en términos de z, m y n pero eso La ecuación es fácil de resolver ya que nos da dos ecuaciones cuadráticas:
] matemáticas] y ^ 2 – z = my + n [/ matemáticas] y [matemáticas] y ^ 2 – z = -my – n [/ matemáticas] y las dos soluciones de cada una de estas son las 4 soluciones para la ecuación y luego establecer [math] x = y – b [/ math] le da las cuatro soluciones para la ecuación original.