¿Cuál es la diferencia entre la geometría diferencial y no euclidiana?

Answer 1

Una ” geometría no euclidiana ” es un modelo de axiomas de Euclides, es decir, un conjunto de objetos que llamamos “puntos”, “líneas” y “planos”, y algunas relaciones entre ellos, que satisface los axiomas de Euclides excepto con el quinto axioma reemplazado por su negación.

Esto incluye cosas que normalmente consideramos geométricas, por ejemplo, una esfera y los grandes círculos en ella, así como cosas que probablemente no, como las geometrías finitas.

La geometría diferencial es el estudio de objetos geométricos en los que puede hacer una cierta cantidad de cálculo. Estos objetos se denominan “múltiples lisos” e incluyen elementos como planos, círculos, rosquillas y elementos de dimensiones superiores del mismo tipo general.

Las geometrías no euclidianas “geométricas” más familiares (y las geometrías euclidianas, para el caso) tienen una variedad tridimensional lisa como “espacio”, y submanifolds para “planos”, “líneas” y “puntos”. Además, si estamos trabajando en la configuración más específica de la geometría riemanniana (a veces también llamada simplemente “geometría diferencial”), ser un modelo de una geometría no euclidiana dice cosas sobre la geometría riemanniana y viceversa.

Answer 2

La geometría diferencial es el estudio de la geometría de múltiples diferenciables. Entonces, por sí mismo, ni siquiera tiene nociones de métricas, paralelos, etc.

Si agrega métricas a la mezcla, obtendrá la rama de geometría diferenciable llamada geometría de Riemann. Pero la métrica aún puede variar enormemente de un punto a otro, por lo que no puede establecer propiedades generales. Pero puede definir líneas rectas como geodésicas.

La geometría clásica no euclidiana denominada geometría hiperbólica se obtiene como la geometría del espacio completo bidimensional completo simplemente conectado en el que la curvatura total es igual a -1. Veamos las palabras una por una:

• Dimensión 2: aquí es donde se inventó la geometría hiperbólica. Pero, por supuesto, esto puede ser generalizado.
• Curvatura total igual a -1: esta propiedad esencialmente garantiza que en todos los puntos la geometría local sea la misma.
• Completo (ver múltiple de Riemann): significa que las geodésicas no tienen fin, que las líneas no terminan.
• Simplemente conectado: esto es para garantizar que no tenga bucles. Si se permitieran bucles, se obtiene la clase de superficie de Riemann que han sido estudiadas por muchos matemáticos.

Como puede ver en todos los puntos, las generalizaciones son posibles. Esto se debe a que la geometría diferencial es una generalización amplia de la geometría no euclidiana.

Answer 3

La geometría no euclidiana es una geometría en la que el Quinto Postulado original (una línea paralela a través de un punto fuera de una línea dada en el mismo plano que la línea original) se reemplaza por una de dos alternativas: ninguna línea paralela: geometría esférica o elíptica ; y muchas líneas paralelas: geometría hiperboica.

La geometría diferencial lleva las técnicas del cálculo a la geometría, generalmente no euclidiana, dando como resultado conceptos tales como la distancia (más corta) entre dos puntos en una esfera y la cantidad exacta de curvatura en un punto particular. La construcción matemática analizada por la geometría diferencial se llama típicamente una variedad.

La Relatividad General (GR) es la aplicación más famosa de geometría no euclidiana y geometría diferencial. Cerca de un objeto masivo, GR muestra que la geometría no es euclidiana (más exactamente, no es Minkowskian). La geometría diferencial es esencial para formular y comprender las ecuaciones de GR.

Answer 4

La mayor parte de la geometría no euclidiana cae bajo el paraguas de la geometría diferencial. Los dos casos de geometría esférica (elíptica) e hiperbólica son solo dos configuraciones para la geometría diferencial, y hay muchas otras, como la geometría proyectiva y todo tipo de cosas extrañas de dimensiones superiores como las 8 geometrías de Thurston en tres dimensiones, y las incontables Muchas esferas exóticas en 4 dimensiones.