¿Cuál es la mejor manera de resolver problemas de secciones cónicas de elipse?

Answer 1

Siempre que desee esbozar secciones cónicas, primero debe poder convertirlas en sus respectivas formas estándar.

Como los coeficientes [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] y ^ 2 [/ matemática] son ​​positivos, sé que estoy buscando una elipse o una parábola.

[matemáticas] x ^ 2 + 4x + 4y ^ 2-4y = 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 + 4x + 4-4 + 4 (y ^ 2-y) -11 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (x + 2) ^ 2 – 4 +4 \ izquierda (y ^ 2 -2.y. \ dfrac {1} {2} + \ izquierda (\ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ 2- \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 \ right) -11 = 0 [/ math]

[matemática] \ implica (x + 2) ^ 2 – 4 + 4 \ izquierda (y- \ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ 2 -1 – 11 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica (x + 2) ^ 2 + 4 \ izquierda (y- \ dfrac {1} {2} \ derecha) ^ 2 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {(x + 2) ^ 2} {4 ^ 2} + \ dfrac {\ left (y- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2} {2 ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Eje mayor, [matemática] a = 4 [/ matemática], Eje menor, [matemática] b = 2 [/ matemática], Centro [matemática] = (-2, \ frac {1} {2}) [/ matemática]

Answer 2

La ecuación estándar de una elipse, centrada en el origen con los ejes mayor y menor alineados con los ejes x e y es [matemática] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]. Puede cambiar esto a un nuevo centro [matemática] (x_c, y_x) [/ matemática] reemplazando [matemática] x, y [/ matemática] con [matemática] x-x_c, y-y_c [/ matemática] para obtener [ math] \ frac {(x-x_c) ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {(y-y_c) ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ math]. Multiplicar eso y combinar términos te dará algo parecido a lo que tienes allí.

Los términos en [matemáticas] x [/ matemáticas] de la forma multiplicada son de la forma [matemáticas] \ frac {1} {a} x ^ 2 + \ frac {2x_c} {a} x [/ matemáticas], que tiene que coincidir con los coeficientes en su ecuación. Eso significa que [matemáticas] 1 = \ frac {1} {a}, 4 = \ frac {2x_c} {a} [/ matemáticas], que puedes resolver para obtener [matemáticas] a = 1, x_c = 2 [/ matemáticas].

Puede hacer lo mismo con el lado [matemático] y [/ matemático] de la ecuación para obtener los valores para [matemático] b, y_c [/ matemático].

Eso debería darte lo suficiente para encontrar el centro y los vértices.

Si se girara la elipse (de modo que los ejes mayor y menor no estuvieran alineados con los ejes x e y), habría un término [matemático] xy [/ matemático] que complicaría enormemente las cosas.

Answer 3

Si está familiarizado con el álgebra lineal y el análisis propio en particular, esa es probablemente la forma más directa.