¿Se consideraría mejor la raíz cuadrada -1 como una declaración geométrica sobre la anisotropía del espacio?

Answer 1

La imagen del mundo de cada hombre es y sigue siendo una construcción de su mente y no se puede demostrar que tenga otra existencia. -Erwin Schrodinger

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Si recordamos los inicios de los números imaginarios, antes de la definición canónica de [matemáticas] i, [/ matemáticas] nos encontramos con un Rafael Bombelli, un algebraista italiano del siglo XVI que fue el primer europeo en escribir cómo realizar cálculos con números negativos. Quizás lo más importante es que su libro Algebra, publicado en 1572, incluye las prodigiosas contribuciones de Bombelli a la teoría de números complejos.

Antes de que Bombelli describa el uso práctico de los números imaginarios, entra en una explicación detallada de las propiedades de los números complejos. Aclara inmediatamente que las reglas de la aritmética para los números imaginarios no son las mismas que para los números reales. Este fue un gran logro, ya que incluso muchos matemáticos posteriores estaban bastante confundidos sobre el tema.

Bombelli evitó la confusión al dar un nombre especial a las raíces cuadradas de los números negativos, en lugar de tratarlos como radicales regulares como lo hicieron otros matemáticos. Esto dejó en claro que estas entidades matemáticas no eran ni positivas ni negativas. Bombelli llamó a lo que ahora llamamos el número imaginario i “más de menos” y usó “menos de menos” para – i . Tenga en cuenta que está tratando los números imaginarios esencialmente como vectores, no como números como los hemos visto hoy. En la forma de pensar de Bombelli, existían vectores que no eran ni positivos ni negativos. Entonces, ¿qué eran entonces?

Bombelli tuvo la previsión de ver que los números imaginarios eran cruciales y necesarios para resolver ecuaciones cuárticas y cúbicas. También entendió que la parte esencial de lo que hemos venido a llamar números imaginarios, la parte que los distinguía, era su signo (dirección), no su magnitud. Además, vio estos signos como ‘raíz cuadrada positiva’ y ‘raíz cuadrada negativa’, no simplemente ‘más’ y ‘menos’. Bombelli era un visionario. Pero su oferta visionaria fue destrozada más allá del reconocimiento por las generaciones posteriores de matemáticos, particularmente aquellos de la Era de la Ilustración que cometieron el desafortunado error de combinación de combinar signos y magnitud de imaginarios en una sola entidad que reinterpretaron como solo números en lugar de una combinación de magnitud y dirección.

En su libro, Bombelli explica la aritmética compleja de la siguiente manera:

“Más por más de menos, hace más de menos.
Menos por más de menos, hace menos de menos.
Más por menos de menos, hace menos de menos.
Menos por menos de menos, hace más de menos.
Más de menos por más de menos, hace menos.
Más de menos por menos de menos, hace más.
Menos de menos por más de menos, hace más.
Menos de menos por menos de menos hace menos “.

Álgebra Rafael Bombelli

Después de ocuparse de la multiplicación de números reales e imaginarios, Bombelli continúa hablando sobre las reglas de suma y resta. Tiene cuidado de señalar que las partes reales se suman a las partes reales, y las partes imaginarias se suman a las partes imaginarias.

Para mí, parece que Bombelli está describiendo reglas de aritmética aquí. No tratamos con números como los hemos llegado a entender, sino con signos, con las reglas de operación y combinación de signos. Las señales tienen que ver con la dirección. Este es un tipo de análisis proto-vector que Bombelli está presentando aquí. No se menciona ni se hace referencia a las operaciones de rotación, ya que los matemáticos posteriores se aplicarían a números imaginarios. En la época de Bombelli, esa forma de ver los números imaginarios todavía estaba lejos en el futuro. Descartes no nacería para otra generación; Euler, por casi 135 años.

La comprensión matemática cambia. Las definiciones cambian. Las interpretaciones cambian. Desde una perspectiva histórica, no hay nada sacrosanto sobre ellos. El sentimiento de que son más que convenciones arbitrarias diseñadas para propósitos específicos es solo eso: un sentimiento y está íntimamente relacionado con lo que significa, desde una perspectiva psicológica, ser humano. Tendemos a ser criaturas de hábito. Al menos la mayoría de nosotros lo hacemos. Los hábitos son difíciles de romper. Una de las razones es porque se sienten tan “naturales”. Es difícil darle la espalda a lo que ha estado con nosotros durante siglos y que se percibe como “la forma natural”. A veces, aunque ‘la forma natural’ resulta ser solo a lo que nos hemos acostumbrado con el tiempo. Las dos grandes revoluciones de la física del siglo XX giraron en torno a tal estado de cosas: la relatividad y la mecánica cuántica de Einstein.

Para una versión interesante de los números imaginarios de un matemático de buena fe que acaba de aparecer en Quora (6 de junio de 2016), vea

La respuesta de Demetrios E. Lekkas a ¿Por qué funcionan los números imaginarios?

¿No es maravillosa la sincronicidad?

Answer 2

“¿Sería mejor pensar que la raíz cuadrada -1 es una declaración geométrica sobre la anisotropía del espacio?”

No…

Contra pregunta:

¿Se describirían mejor los números 1,2 … etc. como un recuento del número de manzanas que tiene?

RESPUESTA: No, por supuesto que no. Aunque sí cumplen esa función entre otras.

De manera similar, la raíz cuadrada de menos 1 se puede usar para modelar un espacio 2D. Esto es en esencia para lo que se usan los diagramas fasoriales y similares. Sin embargo, tiene más usos que eso, por lo que está pensando al revés. Del mismo modo, el espacio 3D se puede modelar con la formulación de cuaternión más compleja que proviene de números imaginarios. Sin embargo, en la mayoría de los usos (no del todo) los vectores los han reemplazado.

En cuanto a la anisotropía de las cosas espaciales … No creo que esa palabra signifique lo que crees que significa.

Answer 3

….¿No?

¿Qué posible beneficio proporciona esto?

Las matemáticas son independientes del universo en el que fueron escritas. Las matemáticas son verdaderas, independientemente de la realidad en la que están las matemáticas . Hemos definido las matemáticas de esta manera (por lo que algunas cosas son confusas, como la prueba de 1 + 1 = 2)

Entonces … ¿quieres tirar todo eso, atando el complejo campo a un universo anisotrópico? Nadie va a comprar eso. Estás tirando 200 años de formalismo.

Además de eso, no proporciona evidencia sobre cómo esta anisotropía sería útil …

Dado que no necesitamos números complejos para describir un espacio anisotrópico, no veo cómo podría recuperar las matemáticas complejas de ese hecho.

En general, no es una buena idea.

Answer 4

¿Se consideraría mejor la raíz cuadrada -1 como una declaración geométrica sobre la anisotropía del espacio?

No

Como +1 y -1, ambas raíces cuadradas reales de 1, se consideran vectores o direcciones opuestas,

Se pueden modelar como tales, pero los vectores son una entidad más estructurada y complicada que los números. Es un error atribuir todas las propiedades de los vectores a los números. Llevará a conclusiones erróneas como números que tienen una “dirección”.

En segundo lugar, no hay anisotropía en la representación de números complejos, ya sea como pares cartesianos de números reales, [matemáticas] x + iy [/ matemáticas], o como pares polares de números reales, [matemáticas] re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]. Puede ver esto representando adecuadamente estos pares ordenados como, por ejemplo:

[matemáticas] \ quad x + iy \ equiv (x, 0) + (0,1) (y, 0) [/ matemáticas]

donde la multiplicación compleja se define como:

[matemáticas] \ quad (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc) [/ matemáticas]

Esta definición es isotrópica ya que, aparte de cualquier otra cosa, no hay ninguna dirección o “tropo” para ser “iso” o “aniso”.

Simplemente los números no son entidades geométricas, y su trazado de números en una línea o un plano lo está confundiendo.

Answer 5

Los números complejos pueden considerarse como vectores con el propósito de sumar. Tenga en cuenta que no hay anisotropía entre agregar múltiplos de [math] i [/ math] y agregar múltiplos de [math] 1 [/ math]. Además, solo hay dos ejes. “Cuatro únicos” hace una declaración imperfecta.

La multiplicación compleja no se comporta de una manera intuitiva inmediata a lo que esperamos conociendo solo la multiplicación en la línea real. Pero sería erróneo concluir que esto tiene que ver con el eje imaginario (una anisotropía con el eje real). De hecho, la multiplicación compleja (que define a [math] \ mathbb {C} [/ math] y [math] \ sqrt {-1} [/ math]) es una propiedad de todo el plano complejo, y mucho mejor intuida considerando coordenadas polares. No es una cuestión de .

Plausiblemente, necesitaríamos otra palabra para describir el tipo de espacio geométrico de [math] \ mathbb {C} [/ math]. Pero no conozco otros ejemplos y puede ser demostrable que todos son equivalentes a [math] \ mathbb {C}. [/ Math]

Answer 6

Supongo que depende de para qué lo estés usando, pero para mí, como estudiante de física por primera vez, eso no me habría ayudado.

Entiendo que soy una forma conveniente de manejar las matemáticas de las fases. Está integrado en la ortogonalidad de las ecuaciones de Dirac, o las leyes de EM. No me parece, en absoluto, hablar de anisotropía.