El primer círculo tiene centro [matemática] C_1 [/ matemática] = (0,0) y radio [matemática] r_1 [/ matemática] = 1
El segundo círculo tiene centro [matemática] C_2 [/ matemática] = (- 1,0) y radio [matemática] r_2 [/ matemática] = 2
un bosquejo aproximado indica que el primer círculo está completamente dentro del segundo y lo toca internamente en (1,0)
Si la circunferencia de un círculo se biseca, el nuevo círculo debe pasar por los extremos de un diámetro. aquí imagino los dos diámetros verticales de los dos círculos cuyos puntos finales forman un trapecio simétrico que ciertamente indica un cuadrilátero cíclico. Entonces el círculo requerido debe pasar por (0,1), (0, -1), (- 1,2) y (-1, -2)
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- Si A y B son dos vectores, ¿cuál es el ángulo entre (A + B) y (AB)?
- Dados dos puntos A y B en el plano XY, ¿cuál es el número de puntos en el segmento AB que tienen coordenadas x e y como número entero?
deja que [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemática] sea la ecuación del círculo requerido.
(0,1) da 1 + 2f + c = 0
(0, -1) da 1-2f + c = 0 [matemática] \ rightarrow [/ matemática] c = -1 yf = 0
Ahora (-1,2) 1 + 4–2g-1 = 0 [matemática] \ rightarrow [/ matemática] g = 2
Entonces la ecuación del círculo es [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 4x-1 = 0 [/ matemática]
Verifique : (-1, -2) también satisface la ecuación.
Si los dos círculos se cruzaran, desde el punto de intersección podríamos haber obtenido los diámetros respectivos y sus puntos finales, lo que junto con el punto de intersección daría un círculo que corta la circunferencia, pero aquí hay un contacto interno y esto se descarta.
Todavía podría haber otros círculos que necesitarían un análisis más detallado.
Deje que [matemáticas] A (\ cos \ theta, \ sin \ theta) [/ matemáticas] sea un punto en el primer círculo. Su punto diametralmente opuesto está dado por [matemáticas] B (- \ cos \ theta, – \ sin \ theta) [/ matemáticas]. de manera similar, deje que [math] C (-1 + 2 \ cos \ phi, 2 \ sin \ phi) [/ math] y [math] D (-1-2 \ cos \ phi, -2 \ sin \ phi) [/ matemáticas] puntos en el segundo círculo. el círculo requerido debe pasar por los 4 puntos.
Sea [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemática] la ecuación del círculo.
Conectando A en él [matemáticas] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + 2g \ cos \ theta + 2f \ sin \ theta + c = 1 + 2g \ cos \ theta + 2f \ sin \ theta + c = 0 … (1) [/ matemáticas]
Conectando B en él [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [matemáticas] -2g \ cos \ theta-2f \ sin \ theta + c = 0…. (2) [/ matemáticas]
De (1) y (2) c = -1 y [matemáticas] g \ cos \ theta + f \ sin \ theta = 0…. (3) [/ matemáticas]
Conectando C en él [matemáticas] 4 +4 \ cos \ phi + 2g (-1 + 2 \ cos \ phi) + 4f \ sin \ phi = 0…. (4) [/ matemáticas]
Conectando D en él [matemáticas] 4 -4 \ cos \ phi + 2g (-1-2 \ cos \ phi) -4f \ sin \ phi = 0…. (5) [/ matemáticas]
De (4) y (5) g = 2 y [matemáticas] f = -3 \ cot \ phi [/ matemáticas]
De (3) [matemáticas] f = -2 \ cot \ theta [/ matemáticas]
Entonces [math] \ cot \ theta = \ frac {3} {2} \ cot \ phi [/ math]
Solo significa que con esta relación se puede formar el círculo, excepto [matemática] \ theta [/ matemática] o [matemática] \ phi = 0 [/ matemática] o múltiplo de \ pi cuando cotangente está indefinido.
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] la ecuación del círculo se puede poner como
[matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 4x + 2fy + c = 0 [/ matemática] donde f puede tomar cualquier valor.
Entonces, hay un número infinito de círculos.