El plano x, y gira alrededor de cada eje (x, y, z). ¿Cómo puedo encontrar el vector normal del nuevo plano?

Answer 1

La respuesta simple es que lo normal es la tercera fila de la matriz de rotación o el eje z extraído del cuaternión de rotación.

Una respuesta más larga:

Una normal a un plano es un ‘bi-vector’. Esto significa que describe la relación entre otros 2 vectores. Lo normal se puede calcular tomando el producto cruzado de 2 vectores independientes tangenciales al plano (en este caso, el eje x {1,0,0} y el eje y {0,1,0}). Independiente significa que los vectores no son simplemente escalas lineales diferentes (incluidas escalas negativas) de un solo vector.

Para rotar una normal, realmente queremos transformar los vectores tangentes y tomar el producto cruzado de las tangentes rotadas. Sin embargo, hay un atajo: podemos transformar lo normal mediante la transposición inversa de la matriz de rotación. Para una rotación pura (sin sesgo), la matriz de transposición inversa es la misma que la matriz original.

Dado que la normal no rotada es {0,0,1}, multiplicarla por la matriz de rotación simplemente extraerá la tercera fila de la matriz.

Answer 2

El vector normal del plano xy es

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Aplique las rotaciones multiplicando por una matriz de rotación.

Una rotación de [math] \ alpha [/ math] alrededor de z es

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & – \ sin \ alpha & 0 \\ \ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Una rotación de [math] \ beta [/ math] alrededor de y es

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ beta & 0 & \ sin \ beta \\ 0 & 1 & 0 \\ – \ sin \ beta & 0 & \ cos \ beta \ end {bmatrix} [/ math]

Una rotación de [math] \ gamma [/ math] alrededor de x es

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ gamma & – \ sin \ gamma \\ 0 & \ sin \ gamma & \ cos \ gamma \ end {bmatrix} [/ math]

Como la multiplicación de matrices es asociativa, puede multiplicar las matrices por el vector sucesivamente, o puede multiplicarlas todas juntas primero para obtener la rotación completa en una matriz.

Recuerde que la multiplicación de matrices no es conmutativa; El orden en que aplique las rotaciones afectará el resultado final.