¿Por qué se usa la ecuación -1 / m para describir el gradiente de una línea perpendicular?

Answer 1

Ehhh, vale, intentémoslo. Esto realmente me lleva de regreso a la escuela, así que no sé cuánto puedo recordar. (Por cierto, tengo buena memoria: D)

En primer lugar, observe que no es necesario que una línea perpendicular tenga una pendiente de [matemática] – \ dfrac {1} {m} [/ matemática]. ¿Sorprendido? El hecho real es que cuando dos líneas son perpendiculares, entonces sus pendientes son los recíprocos negativos entre sí. Eso es lo que aprendemos de la escuela. Veamos cómo lo solucionamos.

Suponga que dos líneas son perpendiculares y tienen pendientes [matemática] m_1 [/ matemática] y [matemática] m_2 [/ matemática] respectivamente. Como son perpendiculares, el ángulo entre las líneas debe ser [matemático] \ frac {\ pi} {2} [/ matemático]

Sabemos por geometría coordinada que

[matemáticas] \ tan \ theta = \ dfrac {m_1-m_2} {1 + m_1 m_2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan \ dfrac {\ pi} {2} = \ dfrac {m_1-m_2} {1 + m_1m_2} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] \ tan \ dfrac {\ pi} {2} = \ infty [/ math]

Entonces, debemos tener el denominador para ser [math] 0 [/ math], y sabemos que [math] m_1 \ neq m_2 [/ math] [de lo contrario son paralelos]. Por eso podemos escribir

[matemáticas] 1 + m_1m_2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m_1m_2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m_2 = – \ dfrac {1} {m_1} [/ matemáticas]

VOILA !!!, tenemos nuestra prueba

Answer 2

En pocas palabras, es porque para cualquier línea con pendiente m la pendiente de la perpendicular a esa línea tiene pendiente inversa = -1 / m.

[Lo que sigue fue agregado aquí de los comentarios.]

Se proporcionan pruebas detalladas en la respuesta de otro. En términos más simples, los conceptos de una línea, su pendiente (o gradiente) y su perpendicular son lo suficientemente claros: la perpendicular es la ‘inversa de la línea’, por lo que la pendiente de la perpendicular es la inversa de la pendiente del original línea.

Esta inversión tiene dos componentes: primero, es el negativo del original, por lo que si la pendiente original es positiva, la perpendicular tendrá una pendiente negativa y, a la inversa (el signo ‘-‘ asegura esto). También es una inversión fraccional (es decir, m / 1 se convierte en 1 / m).

Además, por cierto “-1 / m” no es una “ecuación” como se indica en la pregunta. Es solo un número o un término que contiene una variable.

Answer 3

Probemos una explicación usando números complejos. Para simplificar, consideremos una línea a través del origen [matemática] y = mx [/ matemática], [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] todas reales . Podemos considerar esto como una línea en el plano complejo [matemática] z [/ matemática] donde [matemática] z = x + iy [/ matemática]. Escribamos nuestra línea paramétricamente como [math] z = t + imt [/ math] para que la parte real [math] x = t [/ math] y la parte imaginaria [math] y = mt [/ math], para real [ matemáticas] t [/ matemáticas].

La pendiente de una línea en el plano complejo se puede obtener desde dos puntos, [matemática] z [/ matemática] y [matemática] w [/ matemática], y se da de manera obvia por

[matemáticas] \ dfrac {\ textrm {Im} \ {w \} – \ textrm {Im} \ {z \}} {\ textrm {Re} \ {w \} – \ textrm {Re} \ {z \} }.[/matemáticas]

Para [matemática] z = t + imt [/ matemática], los dos puntos pueden ser simplemente de [matemática] t = 0 [/ matemática] que da [matemática] z = 0 = (0,0) [/ matemática] y [matemática] t = 1 [/ matemática] dando [matemática] w = 1 + im = (1, m) [/ matemática], entonces la pendiente es [matemática] \ dfrac {m – 0} {1 – 0} = m [/ math] como se esperaba.

Es bien sabido que la multiplicación por la fase pura [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] corresponde a una rotación del plano complejo alrededor del origen del ángulo [matemáticas] \ theta. [/ Matemáticas] Esto es fácil de ver en coordenadas polares. Si comenzamos con un número complejo con magnitud [matemática] r [/ matemática] y ángulo [matemática] \ phi [/ matemática], a saber [matemática] z = re ^ {i \ phi} [/ matemática], entonces [matemática ] ze ^ {i \ theta} = re ^ {i \ phi} e ^ {i \ theta} = re ^ {i (\ phi + \ theta)} [/ math]. El resultado es el número complejo con magnitud [matemática] r [/ matemática] y ángulo [matemática] \ phi + \ theta [/ matemática]. En otras palabras, hemos rotado [matemática] z [/ matemática] por ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] sobre el origen.

La línea perpendicular es solo una rotación de nuestra línea original por [math] 90 ^ \ circ [/ math], o [math] \ theta = \ pi / 2 [/ math]. Entonces, necesitamos multiplicar nuestra línea por [matemáticas] e ^ {i \ pi / 2}. [/ Matemáticas] Por la fórmula de Euler,

[matemáticas] e ^ {i \ pi / 2} = cos \ frac \ pi 2 + i \ sin \ frac \ pi 2 = 0 + 1i = i [/ matemáticas].

Así que hemos llegado a la conocida conclusión de que una rotación de 90 grados es equivalente en el plano complejo a una multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas].

Entonces la ecuación para nuestra línea perpendicular a través del origen es

[matemáticas] z = i (t + imt) = it + i ^ 2mt = -mt + it. [/ matemáticas]

Podemos encontrar la pendiente de [math] z = -mt + it [/ math] como lo hicimos anteriormente, usando cualquiera de los dos puntos. De [matemática] t = 0 [/ matemática] obtenemos [matemática] z = 0 = (0,0) [/ matemática] y de [matemática] t = 1 [/ matemática] obtenemos [matemática] w = -m + i = (- m, 1). [/ math] La pendiente de esta línea es [math] \ dfrac {1 – 0} {- m – 0} = – \ dfrac 1 m [/ math].

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Todo esto es una forma muy indirecta de llegar al hecho de que una rotación de 90 grados, la multiplicación por [matemáticas] i [/ matemáticas], es una operación muy simple. Si comenzamos desde el punto [matemática] a + ib = (a, b) [/ matemática] y multiplicamos por [matemática] i [/ matemática], obtenemos [matemática] ia + i ^ 2b = -b + ia = (-b, a) [/ matemáticas]. Simplemente hemos cambiado las coordenadas y le hemos dado a uno un signo menos. (Si hubiéramos multiplicado por [math] -i [/ math], una rotación de 90 grados en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj, habríamos obtenido [math] (b, -a) [/ math]).

Así que ahora podemos salir de nuestro agujero numérico complejo, porque hemos extraído lo que necesitamos de él: girando el avión 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen, solo asigna [math] (a, b) [/ math] a [math ] (- b, a) [/ math].

Ahora podemos relajar nuestra restricción de que la línea pasa por el origen. Imaginemos una línea con dos puntos [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d) [/ matemática] con pendiente [matemática] m [/ matemática]. Eso significa [matemáticas] m = \ dfrac {db} {ca} [/ matemáticas].

Obtenemos una línea perpendicular girando el plano 90 grados. Sabemos que dos puntos en nuestra línea girada son [matemática] (- b, a) [/ matemática] y [matemática] (- d, c) [/ matemática]. La pendiente de nuestra línea perpendicular es, por lo tanto, [matemática] \ dfrac {ca} {- d – (-b)} = – \ dfrac {ca} {db} = – \ dfrac 1 m [/ matemática].

Answer 4

Por álgebra lineal, sabemos que dos vectores son perpendiculares cuando su producto interno es 0.

Describa una línea en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] con pendiente [math] m = \ frac {b} {a} [/ math] como vector [math] [/ math ] Luego, tomando el producto escalar de nuestro vector y el que tiene pendiente recíproca negativa, encontramos [matemática] \ cdot <-b, a> = ab – ab = 0 [/ matemática]. Entonces esas líneas son perpendiculares.

Answer 5

Creo que hay una manera más fácil de entender por qué es verdad. Simplemente coloque un cuadrado en la línea. Dos de sus bordes son perpendiculares a la línea. Puedes hacer algunos triángulos rectángulos para los cuales la hipotenusa es un lado del cuadrado y para los cuales las proporciones de las longitudes de las patas son las pendientes. Pero los triángulos para la línea original y una línea perpendicular son congruentes. Es solo que los roles de las dos longitudes de las patas se invierten con el propósito de calcular la pendiente. Por lo tanto, la magnitud de la pendiente recíproca. Siempre estaba claro que los signos de las pendientes tenían que ser opuestos.

Answer 6

Suponiendo que esté interesado en alguna intuición en lugar de una prueba:

Si tenemos una línea inclinada hacia arriba a medida que se mueve hacia la derecha, entonces la línea perpendicular debe inclinarse hacia abajo a medida que se mueve hacia la derecha. Si dibuja un montón de líneas, puede ver que esto es cierto.

También es cierto a la inversa. Entonces tomamos la pendiente anterior, m, y la multiplicamos por 1 negativo, para cambiar el signo. Esto cambia en qué dirección se inclina.

Además, si tenemos una línea muy empinada, entonces la línea perpendicular será muy superficial, y viceversa. (1 / m) es pequeño si m es grande y (1 / m) es grande si m es pequeño, por eso es 1 / m.

También puede probar esto, que es una explicación adecuada de por qué es cierto. Mi explicación es solo una forma de entender y recordar la fórmula.