Algunos físicos tienden a afirmar que la geometría diferencial no es importante en ninguna parte, excepto en la relatividad general donde es inevitable. Parcialmente es cierto porque puedes hacer mucha física, incluso con la estructura geométrica subyacente, sin mencionar la geometría explícitamente. Por otro lado, la física teórica moderna está utilizando el lenguaje geométrico en más y más áreas. A veces te da una nueva visión que no se ve sin geometría, más a menudo es una manera elegante de describir las cosas.
Dejando a un lado la teoría de cuerdas (no soy un experto en eso), estas son algunas de las aplicaciones habituales de la geometría diferencial.
- Mecánica lagrangiana
El formalismo de Lagrange es esencialmente algo geométrico, aunque generalmente no se discute en el nivel abstracto en los cursos introductorios. La imagen es que las partículas físicas viven en el espacio euclidiano y cada una se describe mediante tres coordenadas cartesianas. Esto ya le da un mayor espacio de configuración que es tridimensional, donde N es el número de partículas. Sin embargo, si sus partículas están sujetas a restricciones (por ejemplo, la partícula solo puede moverse a lo largo de un círculo), su espacio de configuración se reduce (por ejemplo, a un círculo, en lugar de un plano euclidiano) y en realidad es un submanifold del espacio tridimensional. Lo que haces en el formalismo de Lagrange es que escribes las ecuaciones de movimiento únicamente en términos de las coordenadas en este submanifold.
Sobre este submanifold surgen algunas estructuras interesantes. La velocidad de la partícula es tangente al submanifold, por lo que es útil introducir el paquete tangente (es decir, el conjunto de todos los espacios tangentes en cada punto del submanifold) y la mecánica lagrangiana se puede formular geométricamente en este paquete. Incluso tiene sentido introducir una métrica: es simplemente una métrica inducida por la incorporación de submanifold en el espacio euclidiano. Físicamente, la norma de cualquier vector del haz tangente está relacionada con la energía cinética.
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2. La mecánica de Hamilton
Esto es aún más interesante. Resulta útil interpretar los momentos (conjugado canónicamente con coordenadas) como los co-vectores, es decir, como los elementos del paquete cotangente. La estructura de las ecuaciones de Hamilton puede reformularse en términos de la llamada forma simpléctica. Las transformaciones que preservan la forma de las ecuaciones de Hamilton se llaman symplectomorphisms. La forma simpléctica desempeña el papel de la métrica, aunque es una geometría antisimétrica más que simétrica y simpléctica (a diferencia de la geometría riemanniana) es un área muy interesante. Le da una visión más profunda de la transformación de Legendre (que relaciona la imagen lagrangiana y hamiltoniana), por ejemplo.
4. Grupos de mentiras
Los grupos de mentiras son transformaciones continuas bajo las cuales algo es simétrico. En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, es importante formular ecuaciones de campo que sean compatibles con ecuaciones de relatividad especial. Para comprender esto en detalle, necesita una geometría diferencial y una teoría de grupo. En este lenguaje, los campos físicos forman un espacio de representación para el grupo Lorentz (Poincare). Las representaciones del grupo de Lorentz están etiquetadas por spin (aproximadamente), por lo que, por ejemplo, el spin 0 corresponde a una representación particular del grupo de Lorentz que le da la ecuación de Klein-Gordon, de manera similar para el spin 1 (ecuaciones de Maxwell o Proca), y para el spin 1/2, 3/2 (Dirac, Rarita-Schwinger). Esto está relacionado con el siguiente punto.
3. Spinors
En mecánica cuántica necesitamos describir partículas con espín. Como dije, el campo para spin 1/2 partícula es una representación particular del grupo Lorentz. Esta representación tiene una propiedad divertida de que la rotación por [matemáticas] 360 ^ \ circ [/ matemáticas] no actúa como una identidad, por igual menos identidad. Los objetos que tienen esta propiedad se denominan spinors. Dirac los descubrió por intuición y adivinanzas, pero la comprensión real de los spinors proviene de la geometría diferencial. Comienzas con la definición del llamado álgebra de Clifford, que es una especie de generalización del álgebra exterior de formas diferenciales. El álgebra de Clifford está (en cierto sentido) adaptado a la métrica y, por lo tanto, es adecuado para el estudio de las transformaciones ortogonales. Lo que se conoce en física como las matrices [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas] de Dirac surge nuevamente de algunas representaciones del álgebra de Clifford (o grupos de Clifford).
4. Teorías de calibre
Resulta que los campos físicos tienen (además de la invariancia de Lorentz) también otra simetría conocida como la simetría de calibre . Cuando tiene un campo libre descrito por un lagrangiano y desea dejar que interactúe con otro campo, requiriendo la invariancia de calibre, puede derivar un lagrangiano más y menos correcto para los campos que interactúan. Esto fue descubierto por los físicos, pero luego se dieron cuenta de que estas simetrías de calibre se pueden describir convenientemente en lenguaje geométrico. Entendemos la simetría de calibre como algún tipo de simetría interna. A cada punto del espacio-tiempo adjuntamos una copia del espacio (llamada fibra) que representa los estados internos en ese punto. Por lo tanto, obtenemos una estructura llamada paquete G principal donde G es el grupo que actúa sobre las fibras. La interacción entre los dos campos surge como la derivada covariante en el paquete G principal. Entonces, la geometría diferencial es una herramienta muy eficiente para estudiar estas cosas.
Hay muchas más aplicaciones, por ejemplo en termodinámica (en TD usted discute todo el tiempo qué infinitesimales son diferenciales exactos y cuáles no; esto puede expresarse convenientemente como la integrabilidad de distribuciones que puede decidirse por el teorema de Frobeniu), en materia condensada física (por ejemplo, el grafeno es bastante popular hoy en día; existe una conexión entre las propiedades de los cristales de grafeno y la geometría de Riemann), etc. He enumerado solo 4 ejemplos que se me ocurrieron en este momento y que pertenecen a una física bastante estándar.