Cómo demostrar matemáticamente que y = 1 / x es una hipérbola

Answer 1

xy = 1 es hipérbola rectangular

( Una hipérbola – Wikipedia para la cual las asíntotas son perpendiculares , también llamada hipérbola equilátera o hipérbola derecha o hipérbola rectangular. Esto ocurre cuando los ejes semimajor y semiminor son iguales . Esto corresponde a tomar a = b dando excentricidad, e = √2 )

Pero xy = 1 no parece una ecuación hiperbólica ya que no está en la forma estándar de ecuación hiperbólica

o

porque xy = 1 se forma cuando el eje de la coordenada gira un ángulo

Señaló que, la forma estándar de hipérbole rectangular de ecuación hiperbólica se convierte en

o

Método 1 :

donde, X = (x + y) / √2 = x cos45 + y sin45 & Y = (x – y) / √2 = -x sin45 + y cos45

La transformación sugiere claramente que el ángulo de rotación es de 45 grados.

Por lo tanto, debe rotar los ejes 45 grados y puede hacerlo con un cambio de variables.

Para visualizar, la ecuación xy = 1, que en un plano xy tiene la gráfica

se convierte en x ‘^ 2 – y’ ^ 2 = 1 que en un plano x’y ‘tiene el gráfico

Answer 2

Debe conocer la definición (o al menos a) de una hipérbola. Una conveniente para elegir es la siguiente.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos con la propiedad de que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias desde el punto a los dos focos es una constante igual a la distancia entre sus vértices.

Para establecer que [math] y = \ frac 1x [/ math] define dicho conjunto de puntos, simplemente necesitamos ver si hay dos focos que permitan que cada punto de la curva satisfaga el requisito de la definición.

Ahora los vértices deben estar en [matemática] (1,1) [/ matemática] y [matemática] (- 1, -1) [/ matemática] por lo que la distancia entre los vértices es [matemática] 2 \ sqrt 2 [/ matemática ]

Propongo que escojamos los puntos [matemática] (f, f) [/ matemática] y [matemática] (- f, -f) [/ matemática] como los focos y encontremos una [matemática] f> 0 [/ matemática] eso cumple con la definición. Hay razones de simetría para justificar esta elección.

Ahora vamos a elegir un punto arbitrario en la curva: [matemáticas] \ izquierda (x, \ frac 1x \ derecha) [/ matemáticas].

Podemos suponer [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] por simetría sin pérdida de generalidad.

Entonces la distancia entre el punto y los focos son:

[matemáticas] d_1 = \ sqrt {(xf) ^ 2 + (1 / xf) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] d_2 = \ sqrt {(x + f) ^ 2 + (1 / x + f) ^ 2} [/ matemáticas]

Como [math] d_2> d_1 [/ math] vemos que la diferencia absoluta entre las distancias es:

[matemáticas] \ Delta d = \ sqrt {(x + f) ^ 2 + (1 / x + f) ^ 2} – \ sqrt {(xf) ^ 2 + (1 / xf) ^ 2} [/ matemáticas]

Queremos que esta diferencia sea constante e igual a [math] 2 \ sqrt 2 [/ math].

Por lo tanto, buscamos una [matemática] f> 0 [/ matemática] de modo que lo siguiente sea válido para todas [matemática] x> 0 [/ matemática].

[matemáticas] 2 \ sqrt 2 = \ sqrt {(x + f) ^ 2 + (1 / x + f) ^ 2} – \ sqrt {(xf) ^ 2 + (1 / xf) ^ 2} [/ matemáticas ]

Podemos hacer algo de álgebra para verificar que esta igualdad se satisfaga para todos [matemática] x> 0 [/ matemática] para una particular [matemática] f [/ matemática].

¡Sorprendentemente, Wolfram hará el álgebra por ti! Motor de conocimiento computacional

Y aprendemos que esta ecuación se cumple para todas [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] f = \ sqrt 2 [/ matemáticas].

Esto prueba que el conjunto de puntos definidos por la gráfica de [matemática] y = \ frac 1x [/ matemática] es de hecho una hipérbola con vértices en [matemática] (- 1, -1) [/ matemática] y [matemática] ( 1,1) [/ math] y focos en [math] (- \ sqrt 2, – \ sqrt 2) [/ math] an [math] (\ sqrt 2, \ sqrt 2) [/ math].

---

Comentario : Lo maravilloso de las matemáticas es que si desea responder una pregunta como esta, no necesita recurrir a nada que haya memorizado en una clase de matemáticas hace mucho tiempo. Solo necesita buscar la definición de una hipérbola y luego verificar si la ecuación propuesta cumple con esa definición. Para hacer la verificación, hice la vida más fácil señalando dónde deben estar los vértices y también que los focos deben estar en la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas] usando simetría. Esas dos observaciones hicieron que verificar la definición no fuera más difícil que resolver una sola ecuación de álgebra. Ahora, si quisieras resolver esa ecuación a mano, tendrías unos minutos de trabajo por hacer, pero en estos días, la tecnología hace que ese paso sea tan fácil como unos pocos clics en Wolfram.

Answer 3

[matemáticas] y = \ frac {1} {x} [/ matemáticas] es una hipérbola. Probablemente aprendiste que una hipérbola tiene la forma estándar de:

[matemática] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. [/ matemática] (Es una ecuación de segundo grado en 2 variables).

La razón por la que y = 1 / x no se ve así es porque se ha girado 45 grados desde la posición estándar. De hecho, es realmente la hipérbola:
[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. [/ matemáticas]. Esta hipérbola se centra en el origen y los focos están en el eje x. Es simétrico con respecto al eje x (por lo que se “abre” a izquierda y derecha).
Si toma esta hipérbola y la gira 45 grados en sentido antihorario, puede mostrar que la ecuación se convierte en
xy = 1. Que se puede escribir [matemáticas] y = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]. (El “término cruzado” xy indica que se ha rotado).

La hipérbola pertenece a la misma clase con el círculo, la elipse y la parábola. Se conocen como “secciones cónicas” (porque pueden generarse intersectando un cono y un plano) y todas tienen ecuaciones de segundo grado.

La ecuación más general de esta clase es:
[matemática] ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 + dx + ey + f = 0. [/ matemática] La hipérbola estándar, por ejemplo, resultaría si b = d = e = 0, f = -1, y c es negativo La parábola [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] resultaría si a = -1, e = 1 y b = c = d = f = 0, y así sucesivamente. De manera similar, [math] y = \ frac {1} {x} [/ math] es una forma de hipérbola donde a = c = d = e = f = 0.

Answer 4

y = 1 / x es una hipérbola. Probablemente aprendiste que una hipérbola tiene la forma estándar de:

x ^ 2 / a ^ 2 – y ^ 2 / b ^ 2 = 1. (Entonces es una ecuación de segundo grado en 2 variables).

La razón por la que y = 1 / x no se ve así es porque se ha girado 45 grados desde la posición estándar. De hecho, es realmente la hipérbola:
x ^ 2/2 – y ^ 2/2 = 1. Esta hipérbola está centrada en el origen y los focos están en el eje x. Es simétrico con respecto al eje x (por lo que se “abre” a izquierda y derecha).
Si toma esta hipérbola y la gira 45 grados en sentido antihorario, puede mostrar que la ecuación se convierte en
xy = 1. Que se puede escribir y = 1 / x. (El “término cruzado” xy indica que se ha rotado).

La hipérbola pertenece a la misma clase con el círculo, la elipse y la parábola. Se conocen como “secciones cónicas” (porque pueden generarse intersectando un cono y un plano) y todas tienen ecuaciones de segundo grado. La ecuación más general de esta clase es:
ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 + dx + ey + f = 0. La hipérbola estándar, por ejemplo, resultaría si b = d = e = 0, f = -1, y c es negativa. La parábola y = x ^ 2 resultaría si a = -1, e = 1 y b = c = d = f = 0, y así sucesivamente.

Dada una función f (x), la inversa de esta (si existe) es una función g tal que
g (f (x)) = x. Entonces, para hablar sobre un inverso, ya debe estar tratando con alguna función. Por ejemplo, el inverso de ln x es e ^ x.
Si f (x) = 1 / x, entonces la función inversa de f resulta ser ella misma. A saber
g (x) = 1 / x. Usted ve, por ejemplo, que f (2) = 1/2 y luego g (1/2) = 2. En general, g (f (x)) sería = g (1 / x) = 1 / (1 / x) = x.

Las funciones generalmente no se denominan “recíprocos”. Recíproco usualmente solo significará 1 sobre la cantidad. Entonces, desde un punto de vista algebraico, si y = 1 / x, entonces x e y son recíprocos, pero eso no tiene nada que ver con clasificar esta función.

Hipérbola: terminologías, fórmulas y ejemplos

Answer 5

Porque la definición de hipérbola en la geometría analítica es que x e y se ajustan a la ecuación: x * y = k (k es cualquier número real pero no 0). Entonces, como k = 1, x * y = 1 es una hipérbola ~ Hope puede ayudar ~

Answer 6

Puede trazarlo, dejar que x varíe de digamos -100 a 100 en incrementos de .1, y vea si la forma se parece a una hipérbola. Aparte de eso, y = 1 / x * es * la definición de una hipérbola. Es como decir cómo pruebo que el catsup es ketchup.