Cómo encontrar el área de una ardilla

Answer 1

Primero establezcamos qué entendemos por Ardilla es. La definición de Wolfram es

[matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 = r ^ 4 [/ matemáticas]

esto coincide con la definición de un Superellipse con el parámetro [math] n = 4 [/ math].

Wikipedia da el área como

[math] \ mathrm {Area} = \ frac {8 r ^ {2} \ big (\ Gamma \ big (\ frac {5} {4} \ big) \ big) ^ {2}} {\ sqrt {\ pi}} [/ matemáticas]

donde \ Gamma es la función Gamma, en particular [matemática] \ Gamma \ izquierda (\ frac54 \ derecha) \ aprox. 0.906402 [/ matemática] que hace que el área

[math] \ mathrm {Area} \ aprox 3.708149 r ^ 2 [/ math]

un poco más que [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas] para el círculo y poco menos que [matemáticas] 4 r ^ 2 [/ matemáticas] para el cuadrado.

La forma en que se calcula la fórmula para el área no es obvia de inmediato, es posible que deba seguir algunas de las referencias para esto.

Answer 2

Aquí una aproximación que hacer para el área y el perímetro del superelipse, el caso especial de la ardilla n = 4, a = b = 1:

A = a * b * ((0.5) ^ ((n ^ (- 1.52))))

En = A * 4

L = a + b * (((2.5 / (n + 0.5)) ^ (1 / n)) * b + a * (n-1) * 0.566 / n ^ 2) / (b + a * (4.5 / (0.5 + n ^ 2)))

P = L * 4

estas ecuaciones mencionado en mi investigación ” Nuevas ecuaciones más simples para las propiedades de la curva coja (hipoelipse, elipse, superelipse y curvas astroides)”

Answer 3

Primero, asumiré que mi ardilla se puede cortar en cuatro partes iguales, así que solo encontraré el área de una de ellas y multiplicaré el resultado por cuatro. A continuación, supondré que mi ardilla tiene la propiedad de que las esquinas son cuartos de círculo perfectos de radio [matemática] r [/ matemática] y los lados son segmentos lineales de longitud [matemática] s [/ matemática]. Para confirmar que comprende exactamente cómo se ve mi ardilla, le diré que su perímetro (¿o circunferencia?) Es [matemática] 2 \ pi r + 4s [/ matemática]. Debe confirmarlo con un boceto para asegurarse de que estamos en la misma página.

Para encontrar el área, descompongo una de las cuatro partes iguales en cuatro partes más pequeñas. Hay un cuarto de círculo cuyo radio es [matemática] r [/ matemática] que tiene área [matemática] \ frac \ pi 4 r ^ 2 [/ matemática]. Hay dos rectángulos que tienen un lado [math] r [/ math] y el otro lado [math] \ frac s2 [/ math] por lo que cada uno tiene área [math] \ frac {rs} 2 [/ math]. Hay un cuadrado que tiene un lado [matemática] \ frac s2 [/ matemática] cuya área es [matemática] \ frac {s ^ 2} 4 [/ matemática]. Unir estas áreas me da una cuarta parte del área de mi ardilla: [matemáticas] \ frac \ pi 4 r ^ 2 + 2 \ cdot \ frac {rs} 2+ \ frac {s ^ 2} 4 [/ matemáticas].

Ahora multiplico este resultado por cuatro para obtener toda el área:

[matemáticas] \ pi r ^ 2 + 4rs + s ^ 2 [/ matemáticas]

Para confirmar esta respuesta, me doy cuenta de que si cuadra las esquinas de mi ardilla, solo tendría un cuadrado con una longitud lateral [matemática] (s + 2r) [/ matemática] cuya área está dada por [matemática] s ^ 2 + 4rs + 4r ^ 2 [/ matemáticas]. Pero la cuadratura de las esquinas agrega un área en cada una de las cuatro esquinas dada por: [matemáticas] \ frac {4r ^ 2- \ pi r ^ 2} 4 [/ matemáticas].

Entonces el área de mi ardilla es:

[matemáticas] s ^ 2 + 4rs + 4r ^ 2- (4r ^ 2- \ pi r ^ 2) = \ pi r ^ 2 + 4rs + s ^ 2 [/ matemáticas]

Obtuve la misma respuesta en ambos sentidos, ¡así que asumiré que no la estropeé!

Nota: No sabía que había un objeto estándar llamado ardilla, así que definí el mío, un cuadrado cuyas esquinas se redondearon de una manera particular. ¡Esta no es la misma definición de ardilla citada en la otra respuesta!

Answer 4

http://mathworld.wolfram.com/Squ …

Wolfram es una buena fuente para este tipo de información.

Para calcular la integral elíptica para el segundo tipo, puede usar la siguiente calculadora en línea.

Integral elíptica incompleta de la 2da clase Calculadora E (φ, k)