¿Se pueden agregar y multiplicar los pares ordenados de Descartes?

Answer 1

Un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias, una llamada suma y otra llamada multiplicación , denotada de la manera habitual, que son asociativas, la suma es conmutativa, ambas tienen elementos de identidad (la identidad aditiva denotada 0 y la identidad multiplicativa denotada 1), la suma tiene elementos inversos (el inverso de [matemática] x [/ matemática] denotado [matemática] -x [/ matemática]), y la multiplicación se distribuye sobre la suma. Si, además, la multiplicación es conmutativa, entonces el anillo se llama anillo conmutativo .

Los números reales, [math] \ mathbf R [/ math], es un anillo (de hecho, un campo ya que tiene inversos multiplicativos para elementos distintos de cero).

Siempre que tenga dos anillos [matemática] R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática], su producto [matemática] R \ veces S [/ matemática] también es un anillo. El producto [matemática] R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática] consiste en pares ordenados [matemática] (r, s) [/ matemática] donde [matemática] r [/ matemática] es un elemento de [matemática ] R [/ math] y [math] s [/ math] es un elemento de [math] S [/ math]. Las operaciones en [matemática] R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática] son ​​coordinadas, por ejemplo, [matemática] (r_1, s_1) + (r_2, s_2) = (r_1 + r_2, s_1 + s_2) [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] \ mathbf R \ times \ mathbf R [/ math], también denotado [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math], es un anillo. Sin embargo, a diferencia de [math] \ mathbf R [/ math], [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math] no es un campo ya que los elementos distintos de cero como [math] (r, 0) [/ math] no tienen inversos multiplicativos.