La prueba que estoy a punto de presentar tiene una incompleta menor, pero aún voy a decir:
No.
Imagina que tienes un poliedro como lo has descrito. Si tiene n caras y desea minimizar el número de lados, entonces el número de lados en cada cara es
3,4,5,…, n + 2
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En la mayoría de los poliedros, cada cara comparte como máximo un lado con la otra cara. Considere la cara con la mayor cantidad de lados. Esta cara debe tener al menos n + 2 lados, de acuerdo con nuestro razonamiento anterior. Si esta cara comparte como máximo un lado entre sí, entonces solo comparte n -1 lados en total con otros lados, pero tiene n +2 lados, y en un poliedro, todos los lados se comparten entre 2 caras. Por lo tanto, debe existir una cara (s) con la que comparte más de un lado. Eso se vería así:
Como puede ver, esto hace que haya una brecha. ¿Cómo llenar esto? ¡Por qué, más caras! Pero no podemos simplemente pegar una cara (como en este caso, un triángulo) allí mismo, porque las caras adyacentes no pueden ser coplanares. Lo que hacemos es pegar más caras a su alrededor, para que terminemos tratándolo como una cara en un poliedro que está pegado en nuestro poliedro original. Por lo tanto, en esencias, esto solo funciona si podemos tener un poliedro completamente nuevo (eso sí, con los mismos requisitos: diferente número de bordes en cada cara) pegado al original. Pero este es más grande (ya usamos todos nuestros números más pequeños de lados, por lo que habrá más huecos que necesitamos para llenar este. Y ramificando de esos huecos habrá poliedros aún más grandes, y así sucesivamente, y nunca terminamos este proceso. No podemos completar este poliedro, por lo que no debe existir.