Queremos encontrar el radio de este círculo:
Vamos a calcular el radio con un método analítico, por lo que introducimos un sistema de coordenadas.
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Ahora tenemos que encontrar el círculo que pasa
[matemáticas] (0, 0), (3, 0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2, 3) [/ matemáticas].
Mi respuesta contiene dos formas de hacer esto.
[math] \ large {\ text {Con la bisectriz perpendicular}} [/ math]
Para encontrar el centro, tenemos que encontrar la intersección entre la bisectriz perpendicular de [math] [AC] [/ math] (que denominaré como [math] AC_ \ perp [/ math]), y la de [math] [AB] [/ matemáticas].
Comencemos con el de [math] [AB] [/ math]. Podemos hacer esto en nuestra cabeza:
[matemáticas] AB_ \ perp \ leftrightarrow x = \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas].
El perp. La bisectriz de [matemáticas] [AC] [/ matemáticas] es más difícil.
[matemáticas] \ begin {align *} AC \ leftrightarrow y & = \ frac {3} {2} x \\ AC_ \ perp \ leftrightarrow y & = – \ frac {2} {3} x + c \\\ end {align *}[/matemáticas]
Ahora complete el punto [matemáticas] (1, 1.5) [/ matemáticas], el punto medio de [matemáticas] [AC] [/ matemáticas].
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {3} {2} & = – \ frac {2} {3} 1 + c \\ \ frac {3} {2} + \ frac {2} {3} & = c \\ \ frac {13} {6} & = c \\\ end {align *} [/ math]
Entonces obtenemos:
[matemáticas] \ begin {align *} AC_ \ perp \ leftrightarrow y & = – \ frac {2} {3} x + \ frac {13} {6} \\\ end {align *} [/ math]
La intersección de
[matemáticas] AB_ \ perp \ leftrightarrow x = \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] AC_ \ perp \ leftrightarrow y = – \ dfrac {2} {3} x + \ dfrac {13} {6} [/ matemáticas]
es
[matemáticas] \ begin {align *} x & = \ frac {3} {2} \\ y & = – \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {2} + \ frac {13} {6} \\\ end {align *} [/ math]
o
[matemáticas] x = \ displaystyle \ frac {3} {2}, y = \ frac {7} {6} [/ matemáticas]
Ahora podemos calcular [matemáticas] | AO | = \ displaystyle \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = \ sqrt {\ frac {9} {4} + \ frac {49} {36}} = \ sqrt {\ frac {65} {18}} = \ frac {\ sqrt {130}} {6} [/ matemáticas]
cuál es el radio del círculo que estábamos buscando.
[math] \ large \ text {Con la ecuación de un círculo} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align *} S & = \ begin {cases} (x_1 – c_x) ^ 2 + (y_1 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \\ (x_2 – c_x) ^ 2 + (y_2 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \\ (x_3 – c_x) ^ 2 + (y_3 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \ end {casos} \\ & = \ begin {cases} (0 – c_x) ^ 2 + ( 0 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \\ (3 – c_x) ^ 2 + (0 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \\ (2 – c_x) ^ 2 + (3 – c_y) ^ 2 = r ^ 2 \ end {cases} \\ & = \ begin {cases} c_x ^ 2 + c_y ^ 2 & = r ^ 2 \\ 9 – 6c_x + c_x ^ 2 + c_y ^ 2 & = r ^ 2 \\ 4 – 4c_x + c_x ^ 2 + 9 – 6c_y + c_y ^ 2 & = r ^ 2 \ end {cases} \\ & = \ begin {cases} c_x ^ 2 \ phantom {{} – 6c_x} + c_y ^ 2 & = r ^ 2 \\ c_x ^ 2 – 6c_x + c_y ^ 2 \ phantom {{} – 6c_y} + 9 & = r ^ 2 \\ c_x ^ 2 – 4c_x + c_y ^ 2 – 6c_y + 13 & = r ^ 2 \ end {casos} \\ \ end {align *} [/ math]
Ahora reste la ecuación (1) de la ecuación (2) y (3)
[matemáticas] \ begin {align *} S & = \ begin {cases} – 6c_x \ phantom {{} – 6c_y} + 9 & = 0 \\ – 4c_x – 6c_y + 13 & = 0 \ end {cases} \\ & = \ begin {cases} c_x & = \ frac {3} {2} \\ – 4c_x – 6c_y + 13 & = 0 \ end {cases} \\ & = \ begin {cases} c_x & = \ frac {3 } {2} \\ c_y & = \ frac {-13 + 4 \ cdot \ frac {3} {2}} {- 6} = \ frac {7} {6} \ end {cases} \\ \ end { alinear *} [/ matemáticas]
Volver a la ecuación (1)
[matemáticas] \ begin {align *} c_x ^ 2 + c_y ^ 2 & = r ^ 2 \\ \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {7} {6 } \ right) ^ 2 & = r ^ 2 \\ \ pm \ frac {\ sqrt {130}} {6} & = r \\ \ frac {\ sqrt {130}} {6} & = | r | \ \ \ end {align *} [/ math]