En primer lugar, supongamos que [math] A [/ math] es singular. Entonces afirmo que [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = A [/ math] si [math] A [/ math] es un [math] 2 \ times 2 [/ math] matriz, de lo contrario [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) [/ math] es la matriz cero. Aquí está la razón de esta afirmación.
Si [math] A [/ math] es una matriz [math] 2 \ times 2 [/ math], entonces es fácil mostrar que [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = A [/ matemáticas]. De lo contrario, dado que [math] A [/ math] es singular, [math] A \, \ textrm {adj} (A) = 0 [/ math] y [math] A [/ math] tiene el valor propio [math] 0 [/matemáticas]. Si este valor propio tiene una multiplicidad geométrica uno, con base propia [matemática] \ {z \} [/ matemática], entonces las columnas de [matemática] \ textrm {adj} (A) [/ matemática] deben consistir en múltiplos de [matemática] z [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ textrm {adj} (A) [/ math] tiene rango uno. Por lo tanto, la submatriz cuadrada más grande de [math] \ textrm {adj} (A) [/ math] que tiene un determinante distinto de cero es de tamaño [math] 1 \ times 1 [/ math]. Por lo tanto, cada entrada de [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) [/ math] debe ser cero por definición del adjunto, ya que [math] A [/ math] tiene al menos el tamaño [ matemáticas] 3 \ veces 3 [/ matemáticas]. Por otro lado, si el valor propio [matemática] 0 [/ matemática] tiene una multiplicidad geométrica mayor que uno, entonces el rango de [matemática] A [/ matemática] es como máximo [matemática] (n-2) [/ matemática] , suponiendo que [math] A [/ math] es una matriz [math] n \ times n [/ math]. Por lo tanto, la submatriz cuadrada más grande que tiene un determinante distinto de cero es de tamaño como máximo [math] (n-2) \ times (n-2) [/ math], entonces [math] \ textrm {adj} (A) [/ math] es la matriz cero inmediatamente y, por lo tanto, también lo es [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) [/ math]. Por lo tanto, [matemática] \ det (\ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = \ det (A) = 0 [/ matemática] si [matemática] A [/ matemática] es un singular [matemática] 2 \ times 2 [/ math] matrix, y es [math] \ det (0) = 0 [/ math] si es una matriz singular de diferente tamaño. Por lo tanto, si [math] A [/ math] es singular, entonces [math] \ det (\ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = 0 [/ math] en cualquier caso.
Ahora suponga que [matemáticas] A [/ matemáticas] no es singular. Entonces [math] \ textrm {adj} (A) = \ det (A) A ^ {- 1} [/ math]. Entonces [math] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = \ textrm {adj} (\ det (A) A ^ {- 1}) [/ math]. Al usar la relación [math] \ textrm {adj} (cA) = c ^ {n-1} \ textrm {adj} (A) [/ math], donde [math] n [/ math] es el tamaño de la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) = (\ det (A)) ^ {n-1} \ textrm {adj} (A ^ {- 1}) = (\ det ( A)) ^ {n-1} \ dfrac {1} {\ det (A)} A = (\ det (A)) ^ {n-2} A [/ math].
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Por la relación [matemáticas] \ det (cA) = c ^ n \ det (A) [/ matemáticas], el determinante de [matemáticas] \ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A)) [/ matemáticas] es [matemáticas] (\ det (A)) ^ {n (n-2)} \ det (A) = (\ det (A)) ^ {1 + n ^ 2–2n} = (\ det (A) ) ^ {(n-1) ^ 2} [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que el resultado anterior aún sería cierto si [math] A [/ math] es singular, ya que [math] 0 ^ {(n-1) ^ 2} = 0 [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ det (\ textrm {adj} (\ textrm {adj} (A))) = (\ det (A)) ^ {(n-1) ^ 2} [/ matemáticas] para cualquier matriz cuadrada [ matemáticas] A [/ matemáticas].