Si se conocen [math] a (x) [/ math] y [math] c \ in \ mathbb {R} [/ math], ¿existen métodos para encontrar [math] b (x) [/ math] de manera que [ matemáticas] \ int_ {M} a (x) b (x) dx = c [/ matemáticas]?

Answer 1

Si c = 0 , entonces puede tomar b (x) = 0 y listo.

Si no, la dificultad es encontrar una función b (x) tal que

[matemáticas] \ int_M a (x) \, b (x) \, dx [/ matemáticas]

está definido y no es cero, porque en ese momento puede simplemente reescalar b por una constante para obtener el resultado que sea el número que desee.

En la práctica, para una función específica, cocinar dicha función no suele ser difícil. Encontrar un método que funcione en general requiere un poco más de trabajo, aunque todo lo siguiente es una especie de maquinaria estándar para hacer análisis:

Supongamos que todas las funciones de las que estamos hablando aquí son al menos continuas. Si a es la función cero, entonces el problema es obviamente imposible. Si no es así, existe un punto P donde a es distinto de cero; dado que a es continuo, esto significa que hay algún disco abierto D alrededor de P en el que a es siempre positivo o siempre negativo.

Considere que b es una función de aumento continuo que es cero fuera de D, no negativa dentro de D y no cero en P. Esto asegura que la integral

[matemáticas] \ int_M a (x) b (x) \, dx [/ matemáticas]

en realidad existe y no es cero. Luego simplemente cambie la escala de b si es necesario para obtener la integral para ser c .

De hecho, este argumento funciona siempre y cuando haya un solo punto P donde [math] a (P) \ neq 0 [/ math] con un continuo cerca de P. Si ni siquiera eso es cierto, estás viendo una función bastante patológica.

Answer 2

Si [math] a (x) [/ math] no es [math] 0 [/ math] en ninguna parte, elija una función [math] f (x) [/ math] cuya integral [math] \ int_M f (x) \ , dx = h [/ math] no es [math] 0 [/ math] y deja que [math] b (x) = \ dfrac ch \, \ dfrac {f (x)} {a (x)} [/ math ]