¿Por qué no puede haber una función continua [matemática] f [/ matemática] tal que [matemática] f (f (x)) = -x [/ matemática]?

Answer 1

Lema: f es uno a uno:

Si f (a) = f (b), entonces

f (f (a)) = f (f (b))

Pero eso significa: – a = f (f (a)) = f (f (b)) = – b, lo que significa que a = b.

Entonces f (a) = f (b) si y solo si a = b.

Lema: f (0) = 0:

Supongamos que f (0) = P.

Entonces f (P) = f (f (0)) = – 0 = 0.

Pero entonces f (0) = f (f (P)) = – P.

Pero ahora hemos derivado el hecho de que f (0), que definimos como P, ahora se muestra como -P.

Por lo tanto

P = – P

lo que significa P = 0.

Por lo tanto, f (0) = 0.

Prueba: si f (x) es una función de valor real que satisface

f (f (x)) = – x,

entonces f (x) no es continuo.

¿Por qué?

Bajo los supuestos hechos para f, ya hemos demostrado que f es uno a uno y que f (0) = 0.

Considere f (1):

• f (1) no puede = 0, porque solo un número real puede mapearse a 0, y es 0.
• Si f (1) = Q> 0, entonces podemos mirar el mapa del segmento de 0 a 1. Será cero solo en el punto inicial de x = 0; de lo contrario habría una duplicación. Pero dado que estamos siguiendo una pista continua entre 0 y 1, si los valores de f a lo largo de la pista nunca alcanzan otro cero, entonces no pueden “saltar” a un valor negativo para f (x). Entonces, dado que f (1) es positivo, f ((0,1]) está completamente contenido entre los reales positivos.
• Pero con el mismo argumento, si tomamos cualquier número real positivo K, podemos dibujar una pista continua de 1 a K que nunca cruza cero. Eso significa que de la misma manera, f ([1, K]) se encuentra completamente dentro de los reales positivos.
• Entonces concluimos que si f (1) es positivo, f (x) también es positivo para todos los valores positivos de x. f asigna positivos solo a positivos .
• Pero luego volvamos a x = 1: f (1) = Q> 0, por lo tanto, debe ser cierto que f (Q) también es positivo y> 0. Pero f (Q) = f (f (1)), que se supone que es -1. Entonces, la suposición de que f (1) es> 0 nos lleva a una contradicción, porque -1 no es positivo.
• Por el contrario , suponga que f (1) = L <0. Luego concluiremos de manera similar que f asigna todos los reales positivos a reales negativos. Pero entonces f (L) = f (f (1)) = -1, por lo que nuevamente podemos concluir que todos los reales negativos también se asignan a negativos. Pero entonces f (-1) es negativo, f (f (-1)) también debe ser negativo; pero espera, f (f (-1)) = – (- 1)) = + 1. Tenemos otra contradicción.

Vemos que la demanda de continuidad hace que sea imposible asignar un valor consistente para el signo de f (x).

QED

ACTUALIZACIÓN: Un ejemplo explícito de una f (x) visualizable:

En principio, debería ser fácil hacer esto: por cada x positivo, encuentre un y positivo único, un “compañero”; luego defina f (x) = y, f (y) = – x, f (-x) = -y yf (-y) = x. Podemos hacer esto con total libertad, siempre que:

• entre {x} y {y}, capturamos todos los reales positivos; y
• f (0) = 0.

La dificultad es asegurarse de que no dejemos huecos.

Después de pensarlo un poco, se me ocurrió un mapa que funciona y es fácil de visualizar: en realidad es continuo por partes:

a) f (0) = 0

b) para x en los rangos (0, 1], (2, 3], (4, 5],… .: f (x) = 1 + x.

Entonces estos se asignan a (1, 2], (3, 4], (5, 6], …

c) para x en los rangos (1, 2], (3, 4], (5, 6],…: f (x) = 1 – x.

Entonces estos se asignan a [-1, 0), [-3, -2), [-5, -4), …

d) para x en los rangos [-1, 0), [-3, -2), [-5, -4),…: f (x) = x – 1.

Entonces estos se asignan a [-2, -1), [-4, -3), [-6, -5], …

e) Finalmente, para x en los rangos: [-2, -1), [-4, -3), [-6, -5],…: f (x) = – x – 1.

Entonces estos coinciden con (0, 1], (2, 3], (4, 5].

En palabras: hemos dividido el eje real en zonas alternas, tanto en el lado positivo como en el negativo. La mitad de las zonas positivas se asignan a otras zonas positivas; la segunda mitad de las zonas corresponde a la mitad de las zonas negativas; que la mitad de las zonas negativas se correlacionan con el resto de las zonas negativas; que a su vez vuelve a la primera mitad de las zonas positivas.

Entonces está claro que tenemos un mapeo para cada punto (+, – o 0); que va a un valor único; y que f, f ^ 2, f ^ 3 y f ^ 4 están “haciendo lo correcto”.

Answer 2

Siempre se debe plantear la pregunta en anotaciones matemáticas correctas. De lo contrario, la pregunta se vuelve demasiado arbitraria para merecer una respuesta. Así que modificaré un poco la pregunta para darle al problema el marco matemático adecuado para trabajar.

Pregunta: Demuestre que no hay una función continua [matemática] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] que satisface [math] f (f (x)) = – x. [/ Math]

Prueba :

Lema : Si [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es una función continua inyectiva, entonces es monotónica, es decir, la función es una función creciente o decreciente.

prueba del lema : esta prueba requiere un esfuerzo mayor de lo que estoy dispuesto a invertir en este momento. Puedes buscarlo fácilmente en Google para encontrar una prueba.

Ahora a la prueba del problema original:

Se puede verificar fácilmente que la función es inyectiva. Solo use la ecuación provista y la definición de función uno a uno .

Debido al lema, entonces f debe estar aumentando o disminuyendo .

Caso 1 : f está aumentando .

Si f está aumentando, entonces para cualquier [matemática] x, y \ in \ mathbb {R} [/ matemática] [matemática] x

caso 2 : f está disminuyendo

Cuando [matemática] x f (y) [/ matemática] {como [matemática] f [/ matemática] está disminuyendo) y [matemática] f (f (x ))

Por lo tanto, no existe ninguna función .

Answer 3

Permítanme comenzar diciendo que he estado bebiendo un poco, la semana entre los semestres de invierno y verano.

Dicho esto, una función en sí misma no puede ser negativa. Si la función es negativa, se convierte en una función negativa de sí misma evaluada en una evaluación negativa de sí misma. Lo que lleva a un positivo. Un negativo multiplicado por un negativo es un positivo. Si es una función positiva, entonces es una evaluación positiva de sí misma.

De cualquier manera, va a ser positivo.

Así es como lo racionalicé, tiene sentido para mí, pero ¿tal vez me equivoque? Cuanto más sé, más me doy cuenta de que no sé. Pero esa es la diversión del viaje!