Comencemos con el caso simple [math] n = 1 [/ math]. Usando varias identidades trigonométricas:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ sin (2 x)} = \ frac {1} {2 \ sin (x) \ cos (x)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x)} {2 \ sin (x) \ cos (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ cos (x)} {2 \ sin (x)} + \ frac {\ sin (x)} {2 \ cos (x)} [/ math]
- Matemáticas: ¿cómo encuentro el valor de [matemáticas] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} [/ matemáticas] sin usar una calculadora?
- El uso de identidades demuestra que x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3> o igual a 3xyz, donde x, y, z son números reales positivos?
- Cómo encontrar el valor de [math] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {100} \ cos ^ 2 \ left ({\ frac {r \ pi} {101}} \ right) [/ math]
- ¿Una fracción terminará o se repetirá?
- Cómo encontrar la ecuación de la parábola
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} – \ frac {\ cos (x)} {2 \ sin (x)} + \ frac {\ sin (x)} {2 \ cos (x)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} – \ frac {\ cos ^ 2 (x)} {2 \ sin (x) \ cos (x)} + \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {2 \ sin (x) \ cos (x)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} – \ frac {\ cos (2 x)} {2 \ sin (x) \ cos (x)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} – \ frac {\ cos (2 x)} {\ sin (2 x)} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ cot (x) – \ cot (2 x) [/ matemáticas]
Para el caso [math] n = 2 [/ math] obtenemos algunos cálculos:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ 2 \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = \ frac {1} {\ sin (4 x)} + \ frac {1} {\ sin (2 x)} = \ cot (x) – \ cot (4 x) [/ math]
Y para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ 3 \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = \ cot (x) – \ cot (8 x) [/ math]
Los cálculos anteriores se verificaron con la ayuda de Mathematica.
De los cálculos anteriores se puede extrapolar o concluir que la solución general de la suma dada en la pregunta será:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ n \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = \ cot (x) – \ cot \ left (2 ^ nx \ right )[/matemáticas]
Otras formas alternativas de la solución son las siguientes expresiones (cortesía de Wolfram Alpha):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ n \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = – \ csc (x) \ sin \ left (x – 2 ^ nx \ right) \ csc \ left (2 ^ nx \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ n \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = \ csc (x) \ csc \ left (2 ^ nx \ right) \ left (\ cos (x) \ sin \ left (2 ^ nx \ right) – \ sin (x) \ cos \ left (2 ^ nx \ right) \ right) [/ math]
Para [math] n [/ math] y [math] x [/ math] real se obtiene la siguiente expresión:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ n \ frac {1} {\ sin \ left (2 ^ rx \ right)} = \ frac {\ sin \ left (2 ^ {n + 1} x \ right)} {\ cos \ left (2 ^ {n + 1} x \ right) – 1} – \ frac {\ sin (2 x)} {\ cos (2 x) – 1} [/ math]