Gracias por la oportunidad de hablar sobre fracciones continuas. Supongo que las otras respuestas no hablarán de cocientes parciales, convergentes y sus relaciones de recurrencia, y ecuaciones lineales de diofantina, así que ese es mi nicho. Voy a abreviar esta fracción continua simple
[matemáticas] \ dfrac {58} {15} = [3, 1, 6, x] [/ matemáticas]
Los números [matemática] 3, 1,… [/ matemática] se denominan cocientes parciales [matemática] a_i [/ matemática] Aquí [matemática] a_1 = 3, a_2 = 1, a_3 = 6 [/ matemática] y [matemática] a_4 = x. [/ matemáticas]
Las fracciones que obtienes tomando prefijos de la lista de cocientes parciales se llaman convergentes, [math] c_i = \ dfrac {p_i} {q_i}. [/ Math]
- ¿Cuál es la función que equivale a las siguientes series: [matemáticas] \ tan \ theta – \ frac 1 3 \ tan ^ 3 \ theta + \ frac 1 5 \ tan ^ 5 \ theta – \ cdots [/ math]?
- ¿Por qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} [/ math] que es igual a 1 no [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {2x} [/ math] o [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x / 2} [/ math]?
- ¿Cómo hacer ecuaciones simultáneas? ¿Cuáles son los conceptos básicos?
- ¿Hay algún polinomio con todas las raíces reales pero las raíces de la derivada no son todas reales?
- ¿Hay alguna forma de hacer una ecuación a partir de un gráfico no lineal?
Vamos a trabajar algunos.
[matemáticas] c_1 = [3] = 3 = \ dfrac {3} {1} = \ dfrac {p_1} {q_1} [/ matemáticas]
[matemáticas] c_2 = [3, 1] = 3 + \ dfrac {1} {1} = \ dfrac {4} {1} = \ dfrac {p_2} {q_2} [/ matemáticas]
[matemáticas] c_3 = [3, 1, 6] = 3+ \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {6}} = \ dfrac {27} {7} = \ dfrac {p_3} {q_3} [/matemáticas]
Podemos resolver [matemáticas] c_4 [/ matemáticas] directamente, pero quiero mostrarte otra forma.
Tenga en cuenta que [math] 27 = 6 \ cdot 4 + 3 [/ math] y [math] 7 = 6 \ cdot 1 + 1 [/ math]. En general,
[matemáticas] p_i = a_i p_ {i-1} + p_ {i-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] q_i = a_i q_ {i-1} + p_ {i-2} [/ matemáticas]
La magia de estas fórmulas de recurrencia es que nos permiten calcular el valor de una fracción continua trabajando de izquierda a derecha. Cuando intentas resolverlo usando álgebra, terminas teniendo que ir de derecha a izquierda. Un beneficio de izquierda a derecha es que los convergentes sucesivos que calculamos usando las fórmulas de recurrencia se acercan cada vez más a nuestra respuesta final. Otro es que los convergentes sucesivos satisfacen una propiedad que los hace útiles para resolver ecuaciones lineales en enteros.
Las relaciones de recurrencia se mantienen para [matemáticas] p_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] q_1 [/ matemáticas] (y [matemáticas] p_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] q_2 [/ matemáticas]) si definimos [matemáticas] p_ { -1} = 0, p_0 = 1, q _ {- 1} = 1, q_0 = 0 [/ matemáticas]
Entonces obtenemos una tabla, donde formamos [math] p [/ math] ‘s y [math] q [/ math]’ s, y así los convergentes [math] c_i = \ dfrac {p_i} {q_i} .[/matemáticas]
Multiplicamos [math] a_i [/ math] por la fila hacia abajo y hacia la izquierda, y sumamos a la izquierda de eso.
a: _ _ 3 1 6 x
p: 0 1 3 4 27 27x + 4
q: 1 0 1 1 7 7x + 1
Comenzamos escribiendo [math] a [/ math] en la parte superior, y p: 0 1 y q: 1 0. Obtenemos [math] p_1 [/ math] como [math] 3 \ cdot 1 + 1 = 3 [/ matemáticas]. Entonces [math] p_2 [/ math] es [math] 1 \ cdot 3 + 1 [/ math]. Entonces [math] p_3 [/ math] es [math] 6 \ cdot 4 + 3 = 27 [/ math]. Finalmente [matemáticas] p_4 = 27x + 4 [/ matemáticas]. De manera similar, después de calcular la fila [matemática] q [/ matemática] obtenemos la [matemática] 7x + 1 [/ matemática] multiplicando la [matemática] x [/ matemática] por el 7 y sumamos el 1 a la izquierda. Entonces
[matemáticas] \ dfrac {58} {15} = \ dfrac {27x + 4} {7x + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] 58 (7x + 1) = 15 (27x + 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] 406x + 58 = 405 x + 60 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] obviamente.
Los convergentes siempre están en los términos más bajos, por lo que si sabía que [matemáticas] x [/ matemáticas] era un número entero, podría hacer el numerador y el denominador por separado: [matemáticas] 15 = 7x + 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]. [matemáticas] 58 = 27x + 4 [/ matemáticas]. [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].
Aquí está la tabla con los 2 completados:
a: _ _ 3 1 6 2
p: 0 1 3 4 27 58
q: 1 0 1 1 7 15
Ahora te diré lo más importante. Cuando multiplica una [matemática] p [/ matemática] por su [matemática] q [/ matemática] a la izquierda y resta la [matemática] q [/ matemática] multiplicada por la [matemática] p [/ matemática] a la izquierda, siempre obtienes [matemáticas] +1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Aquí están todos ellos:
[matemáticas] 1 \ cdot 1 – 0 \ cdot 0 = 1. [/ math]
[matemáticas] 3 \ cdot 0 – 1 \ cdot 1 = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 \ cdot 1 – 1 \ cdot 3 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 27 \ cdot 1 – 7 \ cdot 4 = -1 [/ math]
[matemáticas] 58 \ cdot 7 – 15 \ cdot 27 = 1 [/ matemáticas]
En general [matemáticas] p_i q_ {i-1} – q_i p_ {i-1} = (-1) ^ i [/ matemáticas]
Esto proporciona un método para encontrar una solución particular para, por ejemplo,
[matemáticas] 58x – 15 y = 1 [/ matemáticas]
donde [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son enteros. Este es el comienzo de la teoría de cómo usar fracciones continuas simples para resolver ecuaciones de diofantina. Diophantus era un griego que alrededor del año 250 DC estudió ecuaciones cuyas soluciones deben ser enteros.