Integral de [math] \ int sin 2x. tan 2x dx [/ matemáticas]?

I = [matemáticas] \ displaystyle \ int \ [/ matemáticas] [matemáticas] sen 2x \ tan 2x \, dx [/ matemáticas]

= [matemática] \ displaystyle \ int \ sin [/ matemática] [matemática] 2x \ dfrac {\ sen 2x} {\ cos 2x} \, dx [/ matemática]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {\ sin ^ 2 2x} {\ cos 2x} \, dx [/ matemáticas]

= [matemática] \ displaystyle \ int [/ matemática] [matemática] \ dfrac {1- \ cos ^ 2 2x} {\ cos 2x} \, dx [/ matemática]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int \ sec [/ matemáticas] [matemáticas] 2x \, dx – \ int \ cos 2x \, dx [/ matemáticas]

Dejar que [math] u = 2x [/ math] tal que [math] dx = \ dfrac {du} {2} [/ math]

= [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {2} \ int \ sec u \, du – \ dfrac {1} {2} \ int \ cos u \, du [/ math]

= [matemáticas] \ dfrac {1} {2} ln | \ sec 2x + \ tan 2x | – \ dfrac {1} {2} \ sin 2x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ sin ^ 2 2x} {\ cos 2x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {1- \ cos ^ 2 2x} {\ cos 2x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {1} {\ cos 2x} – \ cos 2x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos 2x} {\ cos ^ 2 2x} \, dx- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ cos 2x} {1- \ sin ^ 2 2x} \, dx- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin 2x = u [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ cos 2x \, dx = du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int \ dfrac {1} {1-u ^ 2} \, du- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ int \ dfrac {2} {1-u ^ 2} \, du- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ int \ dfrac {1 + u + 1-u} {(1 + u) (1-u)} \, du- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ int \ dfrac {1} {1 + u} + \ dfrac {1} {1-u} \, du- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ int \ dfrac {1} {1 + u} – \ dfrac {-1} {1-u} \, du- \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} (\ ln (1 + u) – \ ln (1-u)) – \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} (\ ln (1+ \ sin 2x) – \ ln (1- \ sin 2x)) – \ dfrac {1} {2} \ sin 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} \ ln \ dfrac {1+ \ sin 2x} {1- \ sin 2x} – \ dfrac {1} {2} \ sin 2x + C [/ matemáticas]