¿Qué son los anillos polinomiales supercommutativos?

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Primero, una breve descripción de un anillo polinomial:

Un anillo polinomial, denotado [math] K [X] [/ math], es el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el campo * [math] K [/ math] y variables en el campo * [math] X [/ math ] Asumiré que está familiarizado con los anillos y los campos; si no, hágamelo saber y le daré una breve explicación.

Entonces, esencialmente, los polinomios que estás acostumbrado a ver como:

[matemáticas] 5x ^ 4 + 3x-2 [/ matemáticas] (o algo así)

todo encaja en esta descripción: en el ejemplo anterior, diré que las [math] x [/ math] pueden ser cualquier número real. Entonces este es un elemento del anillo polinomial [matemático] Z [R] [/ matemático], con coeficientes en los enteros [matemático] Z [/ matemático] y variables en los reales [matemático] R [/ matemático].

Este también es un anillo polinomial conmutativo, porque las variables son números reales y los números reales son conmutativos.

Ahora, para la supercommutatividad, a pesar de la gran palabra y las descripciones técnicas que encontrará en Wikipedia sobre álgebras graduadas, etc., no es un gran salto lógico. Esencialmente, decimos:

¿Qué pasa si los números reales no viajan regularmente? Para ser precisos, ¿qué pasaría si tuviéramos:

[matemáticas] \ para todos a, b (a * b = -b * a) [/ matemáticas]? (Esto se llama sesgo-conmutatividad)

Esta es una pregunta interesante por varias razones, pero primero debemos tratar un problema; ¿Cómo podemos cuadrar las cosas en esta nueva configuración “sesgada conmutativa”? Tendríamos:

[matemáticas] a ^ 2 = a * a = -a * a [/ matemáticas]

lo cual obviamente solo es cierto si [math] a [/ math] es cero. Por lo tanto, agregamos eso a nuestra definición y decimos que esta nueva estructura tiene “normas cero”: cada vez que cuadras un número, se convierte en 0.

Con eso fuera del camino, podemos comenzar a explorar otras consecuencias de las cosas sesgadas desplazamientos. Por ejemplo, vemos que:

[matemáticas] (a * b) * c = a * b * c = -a * c * b = c * a * b = c * (a * b) [/ matemáticas]

Ah ja! Entonces, aunque nuestros elementos individuales no se conmutan normalmente, el elemento [math] (a * b) [/ math] es conmutativo; y dado que todas estas son variables cuando estamos en un anillo polinomial, esto lleva a la conclusión de que los polinomios impares se desviarán mientras que los polinomios se conmutarán regularmente.

Esta estructura, un álgebra con elementos que a veces se desplazan regularmente y a veces se desvían dependiendo de cómo se vean, se llama superalgebra. Los anillos polinomiales superconmutativos son polinomios con variables que están en superalgebras, es decir, tienen variables que sesgan el viaje a veces y regularmente en otras.

* Si [math] K [/ math] y [math] X [/ math] tienen inversas multiplicativas, son campos; Sin embargo, este no tiene que ser el caso. Si quitamos los inversos multiplicativos, entonces [matemática] K [/ matemática] y [matemática] X [/ matemática] son ​​anillos.