¿Cómo factorizamos [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 2abc-a ^ ​​2 (b + c) -b ^ 2 (a + c) -c ^ 2 (a + b) [/ matemáticas ]?

Answer 1

Estoy seguro de que otra respuesta va a resolver el álgebra. Intentemos sondear más profundo.

Digamos que teníamos tres puntos en una línea, y llamemos a las distancias firmadas entre pares de puntos [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]. Sabemos que [matemáticas] | a | + | b | = | c | [/ matemáticas] o [matemáticas] | b | + | c | = | a | [/ matemáticas] o [matemáticas] | a | + | c | = | b | [/ math], pero no sabemos cuál. ¿Hay algún tipo de relación algebraica entre [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]? ¿Uno sin valores absolutos y raíces cuadradas?

Sea lo que sea, será simétrico en [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], como su expresión.

Comencemos con una de las posibilidades:

[matemáticas] | a | + | b | = | c | [/ matemáticas]

Cuadratura

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 +2 | a || b | = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 – (a ^ 2 + b ^ 2) = 2 | a || b | [/ matemáticas]

Cuadrando de nuevo

[matemáticas] (c ^ 2 – (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2 = (2 | a || b |) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 4 + (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 -2c ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) = 4a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 4 + a ^ 4 + b ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 – 2a ^ 2c ^ 2 -2c ^ 2 b ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] Z (a, b, c) = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) – (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] Z (a, b, c) = 0 [/ matemática] es la fórmula puramente algebraica que nos dice cuándo tres distancias con signo provienen de tres puntos colineales, es decir, la suma de los valores absolutos de dos suma el valor absoluto del tercero. Es muy simétrico.

Podemos relacionar eso con la fórmula de Heron para el área de un triángulo [matemática] A [/ matemática] dados los lados [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]. La formulación habitual es en términos del semiperímetro [matemáticas] s = (a + b + c) / 2 [/ matemáticas]; luego [math] A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ math]. Un poco de álgebra produce:

[matemáticas] 16A ^ 2 = (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc) (a + b + c) [/ matemáticas]

Si multiplica la expresión simétrica a la derecha, notará que es [matemática] Z (a, b, c). [/ Matemática] Esto tiene sentido: obtenemos un triángulo degenerado de tres puntos colineales cuando el área es cero

¿Qué tiene que ver eso con el problema original? Bueno, no es demasiado difícil ver que si multiplicamos lo que queremos factorizar por la cantidad [matemática] (a + b + c) [/ matemática], obtenemos [matemática] -Z (a, b, c) [/matemáticas]. Entonces nuestra factorización debe ser [matemática] – (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc). [/ Matemática]

Referencia: la serie de YouTube de Norman Wildberger sobre Fundamentos matemáticos

Answer 2

Oh chico, acabo de recordar mi sexto grado

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 2abc-a ^ ​​2 (b + c) -b ^ 2 (c + a) -c ^ 2 (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 (abc) + b ^ 2 (bca) + c ^ 2 (cabina) + 2abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 (abc) -b ^ 2 (a-b + c) -c ^ 2 (a + bc) + 2abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 (abc) -b ^ 2 (ab-c + 2c) -c ^ 2 (ab-c + 2b) + 2abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 (abc) -b ^ 2 (abc) -2b ^ 2c-c ^ 2 (abc) -2bc ^ 2 + 2abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 (abc) -b ^ 2 (abc) -c ^ 2 (abc) + 2bc (abc) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (abc) (a ^ 2-b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (abc) (a ^ 2- (b ^ 2-2bc + c ^ 2)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (abc) (a ^ 2- (bc) ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ en caja {(abc) (a + bc) (a-b + c)} [/ matemáticas]

Answer 3

(a-b + c) (a + bc) (abc)