Cómo evaluar [matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ frac {\ sqrt {\ tan x}} {1+ \ sqrt {\ tan x}} [/ matemáticas]

Evaluar:

[matemáticas] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sqrt {\ tan x}} {1 + \ sqrt {\ tan x }} \, dx \ tag1 [/ math]

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Utilice esta propiedad

[matemáticas] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {a} f (x) \, dx = \ int_ {0} ^ {a} f (a – x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {40 mm} \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sqrt {\ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} – x \ right)}} {1 + \ sqrt {\ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} – x \ right)}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sqrt {\ cot x}} {1 + \ sqrt {\ cot x}} \, dx \ tag2 [/ math]

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Agregue la ecuación “1” y la ecuación “2”

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sqrt {\ tan x}} {1 + \ sqrt {\ tan x}} + \ frac {\ sqrt {\ cot x}} {1 + \ sqrt {\ cot x}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sqrt {\ tan x} (1 + \ sqrt {\ cot x}) + \ sqrt {\ cot x} (1 + \ sqrt {\ tan x})} {(1 + \ sqrt {\ tan x}) (1 + \ sqrt {\ cot x})} \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {2 + \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x}} {2 + \ sqrt {\ tan x} + \ sqrt {\ cot x}} \, dx [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} 1 \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ left. x \ right | _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle 2I = \ large \ displaystyle \ frac {\ pi} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ boxed {\ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ frac {\ pi} {4}}} [/ math]

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ boxed {\ huge {\ huge {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ math]

Primero debes reemplazar tan x por sen x / cos x
luego reemplace x por 90-x (propiedad de la integral definida)
agregue ambas integrales,
Entonces obtienes integración de dx (límite de 0 a 90)
Y
2I = 90
I = 45 o pi / 4 .. y esa es tu ans.

Primero multiplique el numerador y el denominador por la raíz cuadrada de cos x. Ahora use esta fórmula para evaluar la integral.

  • integral de f (sin x) / (f (cos x) + f (sin x)) con límites 0 a pi / 2 = Pi / 4.

El método fácil puede suponerse que la integral es I.
Luego, cambie x a (pi / 2 – x) y resuelva cambiando cotx a tanx.
Esta integral también es I y tiene el mismo denominador que tiene la pregunta. Pero el numerador es 1.
Añádelo a la pregunta. U obtendrá
2I = integración 0 a pi / 2 de (1)
2I = pi / 2
I = pi / 4
QED 🙂