[matemática] x + \ frac1x = 3 [/ matemática] luego [matemática] x ^ 5 + \ frac1 {x ^ 5} = [/ matemática]?

Answer 1

La respuesta es:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} & = \ color {red} {1} \ times \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ 5 + \ color {red} {- 5} \ times \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ 3 + \ color {red} {5} \ times \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ 1 \\ & = \ color {red} {1} \ times 3 ^ 5 + \ color {red} {- 5} \ times 3 ^ 3 + \ color { rojo} {5} \ veces 3 ^ 1 \\ & = 123 \ end {align *} [/ math]

en el que los coeficientes [matemática] [\ color {rojo} {1, -5, +5}] [/ matemática] son ​​la fila superior de la inversa de una matriz, que contiene las filas impares del triángulo de Pascal (ver ilustración arriba ):

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ color {red} {1} & \ color {red} {- 5} & \ color {red} {+ 5} \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ^ {- 1} [/ math]

---

Más explicaciones

Primero defina [math] f_n (x) \ equiv \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ n [/ math], por lo que sabemos que [math] f_3 (x) = 3 ^ n [/matemáticas].

La expansión binomial de [math] f_n (x) [/ math] da:

[matemáticas] \ displaystyle f_n (x) = \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ k \ frac {1} {x ^ {nk}} = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ {2k-n} [/ math]

Usando las ‘filas impares’ del triángulo de Pascal, podemos expresar [matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} [/ matemáticas] como una combinación lineal de [matemáticas] \ {f_1 (x) [/ matemática], [matemática] f_3 (x) [/ matemática], [matemática] f_5 (x) \} [/ matemática], que se visualiza a continuación con notación de matriz:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} f_5 (x) \\ f_3 (x) \\ f_1 (x) \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 5 y 10 y 10 y 5 y 1 \\ 0 y 1 y 3 y 3 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 y 1 y 0 y 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x ^ 5 \\ x ^ 3 \\ x ^ 1 \\ x ^ {- 1} \\ x ^ {- 3} \\ x ^ {- 5} \\ \ end {bmatrix} [/ math]

De las filas de la matriz ‘binomial’ existe una combinación lineal para obtener la fila de coeficientes deseados:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 y 0 y 1 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

Estos coeficientes son la fila superior de la matriz:

[matemática] \ bf {C} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ begin {bmatrix} 1 y 5 y 10 \\ 0 y 1 y 3 \\ 0 y 0 y 1 \ end { bmatrix} ^ {- 1} = \ begin {bmatrix} 1 & -5 & 5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Lo que produce la siguiente combinación lineal:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = f_5 (x) – 5 f_3 (x) + 5f_1 (x) = 3 ^ 5 – 5 \ veces 3 ^ 3 + 5 \ veces 3 ^ 1 = 123 [/ matemáticas]

(Más información aquí )

---

Resultado general:

Para impares [matemáticas] n [/ matemáticas], podemos expresar [matemáticas] \ izquierda (x ^ n + \ frac {1} {x ^ n} \ derecha) [/ matemáticas] como un polinomio de la ‘variable’ [ matemática] \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) [/ math]. Es el elemento superior del vector:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ binom {n} {0} & \ binom {n} {1} & \ binom {n} {2} & \ cdots & \ binom {n} {n / 2-1 / 2} \\ 0 & \ binom {n-2} {0} & \ binom {n-2} {1} & \ cdots & \ binom {n-2} {n / 2-3 / 2} \\ 0 & 0 & \ binom {n-4} {0} & \ cdots & \ binom {n-4} {n / 2-5 / 2} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ cdots & \ binom {1} {n / 2-n / 2} \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ begin {bmatrix} \ left (x + \ frac {1} { x} \ right) ^ {n \ phantom {{} – 2}} \\ \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ {n-2} \\ \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ {n-4} \\ \ vdots \\ \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) ^ {1 \ phantom {{} – 2}} \ end {bmatrix} [/ math]

cada elemento inferior del vector resultante es el resultado para [matemáticas] \ {n-2, n-4, \ ldots, 1 \} [/ matemáticas]

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Script de Matlab

x_plus_1_over_x = 3;
n = 5;

oddIntegers = n: -2: 1;

% de tamaño de matriz (cuadrado)
k = longitud (oddIntegers);

oddPascal = ceros (k, k);

para m = oddIntegers
diagIndex = k – (m-1) / 2;
oddPascal (diagIndex, diagIndex: end) =…
factorial (m) ./ (…
factorial (0: (m-1) / 2). *…
factorial (m- (0: (m-1) / 2)));
fin

salida = …
[1 ceros (1, (n-1) / 2)] *…
inv (oddPascal) * …
(x_plus_1_over_x. ^ oddIntegers ‘)

Answer 2

Solucionemos el problema de forma recursiva.

Deje que [matemáticas] f_n (x) = x ^ n + \ frac {1} {x ^ n}. [/ Matemáticas] Observe que

[matemáticas] \ left (x ^ {n-1} + \ frac {1} {x ^ {n-1}} \ right) \ left (x + \ frac {1} {x} \ right) = \ left ( x ^ {n} + \ frac {1} {x ^ {n}} \ right) + \ left (x ^ {n-2} + \ frac {1} {x ^ {n-2}} \ right) [/matemáticas]

es decir,

[matemáticas] f_ {n} (x) = f_ {n-1} (x) f_1 (x) + f_ {n-2} (x) = 3f_ {n-1} (x) + f_ {n-2 }(X) …. (1) [/ matemáticas]

Tenemos que encontrar [matemáticas] f_5 (x). [/ Matemáticas]

Usando recursividad (1) obtenemos

[matemáticas] f_5 (x) = 3f_ {4} (x) -f_3 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 (3f_ {3} (x) -f_2 (x)) – 3f_2 (x) + f_1 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 9f_3 (x) -6f_2 (x) + f_1 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 9 (3f_2 (x) -f_1 (x)) – 6 (3f_1 (x) -f_0 (x)) + f_1 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 27f_2 (x) -26f_1 (x) + 6f_0 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 27 (3f_1 (x) -f_0 (x)) – 26f_1 (x) + 6f_0 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 55f_1 (x) -21f_0 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 55 \ veces 3-21 \ veces 2 = 123 \; \; \; \ {f_1 (x) = 3, f_0 (x) = 2 \} [/ matemáticas]

Aunque esto parece un poco más largo, es el más adecuado para un programa de computadora. Aquí hemos calculado para [matemáticas] n = 5 [/ matemáticas]. Usando la recursividad puede calcular [matemáticas] f_n (x) [/ matemáticas] para valores bastante grandes de [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas]. [/ Matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle x + \ frac {1} {x} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ Big (x + \ frac {1} {x} \ Big) ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} + 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas]

De nuevo,

[matemáticas] \ displaystyle \ Big (x + \ frac {1} {x} \ Big) ^ 3 = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} +3 \ Big (x + \ frac {1} {x} \ Big) = 27 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 27 – 3 \ veces 3 = 18 [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle \ Big (x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} \ Big) \ Big (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} \ Big) = \ Big (x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} \ Big) + \ Big (x + \ frac {1} {x} \ Big) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 18 \ veces 7 = x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 18 \ veces 7 -3 = 123 [/ matemáticas]

Answer 4

¿Y qué tal un buen álgebra de la secundaria? La primera ecuación es cuadrática ( x ² – 3 x +1 = 0) y da dos soluciones: x = (3 ± √5) / 2

Entonces la segunda ecuación sería igual a [(3 ± √5) ⁵ / 32] + [32 / (3 ± √5) ⁵],

que ahora podemos resolver, teniendo cuidado de usar ambas ventajas o desventajas.

ADENDA, 1 día después. OK hagámoslo. Aparentemente, debido a la simetría algebraica presente, ambos casos conducen al mismo valor establecido por todos los demás aquí. He tratado muy duro de permanecer dentro de los estrechos límites del álgebra más elemental posible.

(3 ± √5) ⁵ = 3⁵ ± 5 × 3⁴ × √5 + 10 × 3³ × (√5) ² ± 10 × 3² × (√5) ³ + 5 × 3 × (√5) ⁴ ± (√5 ) ⁵

(3 ± √5) ⁵ = 243 ± 5 × 81 × √5 + 10 × 27 × (√5) ² ± 10 × 9 × (√5) ³ + 5 × 3 × (√5) ⁴ ± (√5 ) ⁵

(3 ± √5) ⁵ = 243 ± 405√5 + 270 (√5) ² ± 90 × (√5) ³ + 15 (√5) ⁴ ± (√5) ⁵

(3 ± √5) ⁵ = 243 ± 405√5 + 270 × 5 ± 90 (√5) ³ + 15 × 5² ± (√5) ⁵

(3 ± √5) ⁵ = 243 ± 405√5 + 270 × 5 ± 90 × 5√5 + 15 × 25 ± 25√5

(3 ± √5) ⁵ = 243 ± 405√5 + 1350 ± 450√5 + 375 ± 25√5

(3 ± √5) ⁵ = 243 + 1350 + 375 ± (405√5 + 450√5 + 25√5)

(3 ± √5) ⁵ = 1968 ± (405 + 450 + 25) √5 = 1968 ± 880√5

[(3 ± √5) ⁵ / 32] + [32 / (3 ± √5) ⁵] = [(1968 ± 880√5) / 32] + [32 / (1968 ± 880√5)]

[(3 ± √5) ⁵ / 32] + [32 / (3 ± √5) ⁵] = [(61.5 ± 27.5√5)] + [1 / (61.5 ± 27.5√5)]

yo. [(3 + √5) ⁵ / 32] + [32 / (3 + √5) ⁵] = (61.5 + 27.5√5) + 1 / (61.5 + 27.5√5) ≈ (61.5 + 61.49187) + 1 / (61.5 + 61.49187) ≈ 122.99187 + 0.00813 = 123

ii) [(3 – √5) ⁵ / 32] + [32 / (3 – √5) ⁵] = (61.5 – 27.5√5) + 1 / (61.5 – 27.5√5) ≈ (61.5–61.49187) + 1 / (61.5–61.49187) ≈ 0.00813 + 122.99187 = 123

Answer 5

Un enfoque interesante para este problema involucra números complejos. Comenzamos dejando [math] x = e ^ {i \ theta} [/ math]. Entonces, la condición dada se convierte en:
[matemáticas] e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta} = 2 \ cos (\ theta) = 3 [/ matemáticas]
de la fórmula de Euler, para que
[matemáticas] \ cos (\ theta) = \ frac {3} {2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ sin ^ 2 (\ theta) = 1 – \ cos ^ 2 (\ theta) = – \ frac {5} {4} [/ matemáticas]
Estas condiciones no pueden cumplirse cuando [math] \ theta [/ math] es real, pero esto no importará para nuestros propósitos.
Ahora deseamos calcular
[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = e ^ {5i \ theta} + e ^ {- 5i \ theta} = 2 \ cos (5 \ theta) [/ matemática]
La pregunta ahora es: ¿cómo podemos calcular eficientemente [matemáticas] \ cos (5 \ theta) [/ matemáticas] a partir de [matemáticas] \ cos (\ theta) [/ matemáticas]? Nuevamente, la fórmula de Euler (junto con el teorema binomial) viene a nuestro rescate:
[matemáticas] \ cos (5 \ theta) = Re [(e ^ {i \ theta}) ^ 5] = Re [(\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) ^ 5] [/ matemáticas ]
[matemáticas] = \ binom {5} {5} \ cos ^ 5 (\ theta) + \ binom {5} {3} \ cos ^ 3 (\ theta) (- \ sin ^ 2 (\ theta)) + \ binom {5} {1} \ cos (\ theta) \ sin ^ 4 (\ theta) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {3 ^ 5} {2 ^ 5} + 10 \ cdot \ frac {3 ^ 3 \ cdot 5} {2 ^ 3 \ cdot 4} + 5 \ frac {3 \ cdot 5 ^ 2} {2 \ cdot 4 ^ 2} = \ frac {243 + 1350 + 375} {32} = \ frac {123} {2} [/ matemáticas]
Nuestra respuesta final es dos veces esta cantidad, o 123.

(Editar: Hubo algunos comentarios pidiendo aclaraciones técnicas. Lo que escribí originalmente no entró en rigor, pero aquí está la versión más rigurosa de las cosas:

Comenzamos dejando [math] x = e ^ {i \ theta} [/ math]. ¿Cómo sabemos que podemos encontrar theta que satisfaga esta ecuación? Si estuviéramos trabajando con números reales, podríamos tomar logaritmos y resolver [math] \ theta [/ math]. Sin embargo, para números complejos, no existe una única “función de registro”. Por ejemplo, escribamos un número complejo general en la forma [math] z = re ^ {i \ theta} = re ^ {i \ theta + 2 \ pi ki} [/ math] para cualquier número entero [math] k [ / math] (la segunda igualdad proviene de la identidad de Euler y la periodicidad de las funciones seno y coseno). Tomar logaritmos nos da [math] \ log (z) = \ {\ ln (r) + i \ theta + 2 \ pi ki \} [/ math]. Es decir, tenemos un conjunto de números que podrían interpretarse como logaritmos (como números que podrían volver a exponerse para dar z). En general, la forma en que hacemos frente a esta dificultad es seleccionando a un miembro de este conjunto y definiendo (tenga en cuenta las mayúsculas) [matemáticas] Log (z) = ln | z | + iArg (z) [/ math], donde Arg es el ángulo entre [math] – \ pi [/ math] y [math] \ pi [/ math] que el número complejo forma con el eje real en el plano complejo. Se puede ver que este es uno de los elementos del conjunto [math] \ log (z) [/ math]. [math] Log (z) [/ math] además se define en todos los números complejos distintos de cero, por lo que podemos sin dudarlo tomar nuestra ecuación original [math] x = e ^ {i \ theta} [/ math] y reorganizar para obtener [matemáticas] \ theta = -i Registro (x) [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que en realidad nunca necesitamos encontrar un valor numérico (no único, no real) de theta: solo necesitamos justificar la validez de nuestro ansatz (como lo hemos hecho ahora).

Ahora, la segunda parte del argumento usa el hecho [matemáticas] \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta) = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) ^ n [ / math], que es cierto por la identidad de De Moivre, como lo señaló un comentarista. Sin embargo, mirar esto en términos de exponenciales complejos hace que sea mucho más evidente ([math] e ^ {ni \ theta} = (e ^ {i \ theta}) ^ n [/ math]) y la fórmula de Euler hace el resto .

Ahora, expandir el lado derecho de la identidad de De Moivre a través del teorema binomial nos da una forma rápida de calcular fórmulas de múltiples ángulos para seno o coseno (y para bronceado por división). Tomar la parte real de la expansión nos da [math] \ cos (n \ theta) [/ math] y la parte imaginaria nos dará [math] \ sin (n \ theta) [/ math]. Como los poderes de i se alternan como puro real y puro imaginario, solo necesitamos considerar cualquier otro término en la expansión.

El lector extremadamente cercano también notará una sutileza en este cálculo y argumento. Tenga en cuenta que solo podemos decir realmente (sin juego de palabras) que [math] Re [x + iy] = x [/ math] cuando [math] x, y [/ math] son ​​números reales. Del mismo modo, tomar la parte real de la expansión binomial solo nos da la respuesta correcta cuando [math] \ cos (\ theta), \ sin (\ theta) [/ math] son ​​ambas reales. Sin embargo, nuestra [matemática] \ theta [/ matemática] era compleja … ¿Cómo obtenemos la respuesta correcta?

La verdad es que nuestra derivación de la fórmula de ángulo múltiple fue correcta solo para [math] \ theta [/ math] real, pero que el resultado se extiende a theta complejo arbitrario. Esto se debe a un teorema en el análisis complejo de que si dos funciones analíticas (diferenciables en un conjunto abierto) son iguales en una secuencia convergente de puntos en el plano complejo, entonces son iguales en todas partes donde son analíticas.
(Para una prueba, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Id …)

Esperemos que esto aclare cualquier confusión).

Answer 6

123

Se nos da
x + 1 / x = 3

El truco para resolver estas preguntas es encontrar poderes superiores uno por uno.
Básicamente, deberíamos intentar encontrar los valores de x ^ n + 1 / x ^ n

Cuando n = 2

Para obtener el valor de n = 2, necesitamos cuadrar la ecuación original
(x + 1 / x) = 3
=> (x + 1 / x) ^ 2 = 3 ^ 2
=> x ^ 2 + 1 / x ^ 2 + 2 = 9
=> x ^ 2 + 1 / x ^ 2 = 7

Cuando n = 3

Para encontrar el valor, necesitamos multiplicar las ecuaciones donde n = 1 yn = 2
(x + 1 / x) * (x ^ 2 + 1 / x ^ 2) = 3 * 7
=> x ^ 3 + 1 / x ^ 3 + x + 1 / x = 21
=> x ^ 3 + 1 / x ^ 3 + 3 = 21
=> x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 18

Cuando n = 4

Para encontrar el valor, podemos cuadrar la ecuación que obtuvimos en n = 2
(x ^ 2 + 1 / x ^ 2) ^ 2 = 7 ^ 2
=> x ^ 4 + 1 / x ^ 4 + 2 = 49
=> x ^ 4 + 1 / x ^ 4 = 47

Cuando n = 5

Para encontrar el valor, podemos multiplicar las ecuaciones que obtuvimos en n = 1 yn = 4
(x + 1 / x) * (x ^ 4 + 1 / x ^ 4) = 3 * 47
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 + x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 141
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 + 18 = 141
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 = 123

Entonces, el valor que estábamos tratando de descubrir era 123

Alternativamente, puede simplemente multiplicar los valores que tiene en n = 2 y 3 para obtener la respuesta. Esto fue sugerido por el usuario de Quora

(x ^ 2 + 1 / x ^ 2) * (x ^ 3 + 1 / x ^ 3) = 7 * 18
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 + x + 1 / x = 126
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 +3 = 126
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 = 123

Answer 7

Problema interesante! Noté que 2 es demasiado pequeño ([matemáticas] 2 + \ frac {1} {2} = 2.5 <3 [/ matemáticas]) y 3 es demasiado grande ([matemáticas] 3 + \ frac {1} {3} = 3.333 ...> 3 [/ math]), así que voy a entrar esperando una respuesta entre 2 y 3, y si por alguna razón quisiéramos usar métodos estrictamente numéricos, podríamos probar 2.5 y así sucesivamente hasta que nos acerquemos arbitrariamente a un solución.

Comenzaría por “matar la fracción” en la primera ecuación, multiplicando ambos lados por el denominador:

[matemáticas] x (x + \ frac {1} {x}) = 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 3x [/ matemáticas]

Como es cuadrático, “resolveré por cero” para poder arrojarle la propiedad del producto cero de alguna forma.

[matemáticas] x ^ 2 – 3x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Parece que la factorización no va a funcionar (no veo una opción para obtener 3 como diferencia de un par de factores para 1), así que en su lugar arrojaré la fórmula cuadrática a continuación para extraer las raíces.

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {3 \ pm \ sqrt {3 ^ 2 – 4}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {3 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x = \ frac {3 – \ sqrt {5}} {2} \ aprox. 0,38 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ frac {3 + \ sqrt {5}} {2} \ aprox2 .62 [/ matemáticas]. El primero de ellos está fuera del rango de nuestra estimación, pero parece funcionar de todos modos, lo cual es interesante. El segundo también funciona y está en el rango esperado.

Ahora para evaluar la siguiente expresión para cada valor de x. Esto parece un buen problema de calculadora.

Para la primera solución, tecleo: ((3-√5) ÷ 2) ^ 5 + (1 ÷ ((3-√5) ÷ 2)) ^ 5 y obtengo 123.

Para la segunda solución, tecleo: ((3 + √5) ÷ 2) ^ 5 + (1 ÷ ((3 + √5) ÷ 2)) ^ 5 y obtengo 123.

Concluyo que 123 es el valor de la segunda expresión.

Answer 8

[matemáticas] x + 1 / x = 3 [/ matemáticas] – (Ecuación 1)

Cuadrando ambos lados, obtenemos,

[matemáticas] x ^ 2 + 1 / (x ^ 2) + 2 = 9 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 2 + 1 / (x ^ 2) = 7 [/ matemáticas] Ecuación 2

Cubicando ambos lados de la ecuación 1,

[matemáticas] x ^ 3 + 1 / (x ^ 3) + 3 (x + 1 / x) = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 1 / (x ^ 3) + 3 * 3 = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 1 / (x ^ 3) = 18 [/ matemáticas] Ecuación 3

La ecuación 2 multiplicada por la ecuación 3 nos da,

[matemáticas] x ^ 5 + 1 / (x ^ 5) + (x + 1 / x) = 126 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + 1 / (x ^ 5) = 123 [/ matemáticas] ————— El resultado deseado

Answer 9

Deje [math] f (n) = x ^ n + \ frac {1} {x ^ n}, \ n \ in \ mathbb Z ^ + [/ math].

[matemáticas] f (n + 2) = f (n + 1) f (1) -f (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = f (1) ^ 2-2 [/ matemáticas]

Si conoce [math] f (1) [/ math], puede encontrar recursivamente cualquier [math] f (n) [/ math] (o puede encontrar el término general de la relación de recurrencia usando algo como ecuaciones características o generando de esta manera tendría una fórmula única para [math] f (n) [/ math] en términos de [math] f (1) [/ math]).

Answer 10

Esto ha sido bien cubierto en las otras respuestas, pero me gustaría señalar la fórmula general “simple”. Si

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = z [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x ^ n + \ frac {1} {x ^ n} = 2T_n (z / 2) [/ matemáticas]

donde [math] T_n [/ math] denota el [math] n [/ math] th polinomio de Chebyshev del primer tipo. Puede pensar en [math] T_n [/ math] como los polinomios que codifican las fórmulas de ángulo múltiple para coseno. Por ejemplo,

• [matemáticas] T_1 (x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos \ theta = \ cos \ theta [/ matemáticas]
• [matemáticas] T_2 (x) = 2x ^ 2-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos2 \ theta = 2 \ cos ^ 2 \ theta-1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] T_3 (x) = 4x ^ 3-3x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos3 \ theta = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta [/ matemáticas]
• etc.

Este resultado es esencialmente equivalente a la sustitución [matemática] x = e ^ {i \ theta} [/ matemática] que discutió Sushruth Reddy: solo oculta todos los detalles trigonométricos dentro de [matemática] T_n [/ matemática]. También es equivalente al enfoque de recursión dado por Job Bouwman y Prassana: los polinomios [math] T_n [/ math] satisfacen versiones adecuadamente modificadas de esas recursiones.

Entonces, aunque no defiendo la aplicación ciega de fórmulas como un sustituto del entendimiento que proporcionan las otras respuestas, sigamos adelante y busquemos [matemáticas] T_5 (x) = 16x ^ 5-20x ^ 3 + 5x [/ matemáticas] ( por ejemplo, en el enlace de Wikipedia anterior) y calcular

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 2T_5 (3/2) = 32 (3/2) ^ 5-40 (3/2) ^ 3 + 10 (3/2) = 3 ^ 5-5 \ cdot3 ^ 3 + 5 \ cdot3 = 243-135 + 15 = 123 [/ matemáticas]

Answer 11

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = 3 [/ matemáticas]

Al cuadrar esto, obtenemos

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} + 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas]

Cuadrando de nuevo, tenemos

[matemáticas] x ^ 4 + \ frac {1} {x ^ 4} + 2 = 49 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 + \ frac {1} {x ^ 4} = 47 [/ matemáticas]

Y ahora multiplicando esto por [matemáticas] x + \ frac {1} {x} [/ matemáticas], obtenemos

([matemáticas] x ^ 4 + \ frac {1} {x ^ 4}) (x + \ frac {1} {x}) = 47 * 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 3} + x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 5} = 141 [/ matemáticas]

Entonces, ¿qué es [matemáticas] \ frac {1} {x ^ 3} + x ^ 3 [/ matemáticas]? Podemos ver qué sucede si multiplicamos [matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas] por [matemáticas] x + \ frac {1} {x} = 3 [/ matemáticas] :

[matemáticas] (x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2}) (x + \ frac {1} {x}) = 7 * 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x} + x + \ frac {1} {x ^ 3} = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 18 [/ matemáticas]

Ahora que sabemos qué es [matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} [/ matemáticas], podemos conectar esto y obtener:

[matemáticas] x ^ 5 + 18 + \ frac {1} {x ^ 5} = 141 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 123 [/ matemáticas]

Answer 12

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + 1} {x} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {x ^ 2 + 1} {x}) ^ 2 = (3) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 4 + 2x ^ 2 +1} {x ^ 2} = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} + \ frac {2x ^ 2} {x ^ 2} = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} + 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} \ frac {x ^ 2 + 1} {x} = 7 (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + x ^ 4 + x ^ 2 + 1} {x ^ 3} = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + 1} {x ^ 3} + \ frac {x ^ 4 + x ^ 2} {x ^ 3} = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + 1} {x ^ 3} + \ frac {x ^ 2 + 1} {x} = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + 1} {x ^ 3} + 3 = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + 1} {x ^ 3} = 18 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 6 + 1} {x ^ 3} \ frac {x ^ 4 + 1} {x ^ 2} = 18 (7) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {10} + x ^ 6 + x ^ 4 + 1} {x ^ 5} = 126 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {10} + 1} {x ^ 5} + \ frac {x ^ 6 + x ^ 4} {x ^ 5} = 126 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {10} + 1} {x ^ 5} + \ frac {x ^ 2 + 1} {x} = 126 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {10} + 1} {x ^ 5} + 3 = 126 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {10} + 1} {x ^ 5} = 123 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 123 [/ matemáticas]

Answer 13

* A2A

[matemáticas] \ text {Dado que …} \\ x + \ dfrac {1} {x} = 3 \\ \ text {Cuadrando ambos lados …} \\ \ implica x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2 } + 2 = 9 \\ \ implica x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = \ boxed {7} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x ^ 3 + \ dfrac {1} {x ^ 3} & = \ left (x + \ dfrac {1} {x} \ right) ^ 3-3 \ left (x + \ dfrac {1} {x} \ right) \\ & = 3 ^ 3-3 ^ 2 \\ & = \ boxed {18} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ left (x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) \ left (x ^ 3 + \ dfrac {1} {x ^ 3} \ right) & = x ^ 5 + \ left (x + \ dfrac {1} {x} \ right) + \ dfrac {1} {x ^ 5} \\ \ implica 18 \ cdot 7 & = x ^ 5 + \ dfrac {1} {x ^ 5} +3 \\ \ implica x ^ 5 + \ dfrac {1} {x ^ 5} & = \ boxed {123} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/matemáticas]

Answer 14

Podemos obtener los valores cuando n = 2 yn = 3, además

(x ^ 2 + 1 / x ^ 2) * (x ^ 3 + 1 / x ^ 3) = 7 * 18
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 + x + 1 / x = 126
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 +3 = 126
=> x ^ 5 + 1 / x ^ 5 = 123

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Answer 15

A veces el método directo funciona.

[matemáticas] (x + x ^ {- 1}) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 3 + 10x + 10x ^ {- 1} + 5x ^ {- 3} + x ^ {- 5} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x ^ 5 + x ^ {- 5} = (x + x ^ {- 1}) ^ 5 – 5 (x ^ 3 + x ^ {- 3}) – 10 (x + x ^ {- 1 }) \ quad [*] [/ math]

también

[matemáticas] (x + x ^ {- 1}) ^ 3 = x ^ 3 + 3x + 3x ^ {- 1} + x ^ {- 3} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ {- 3} = (x + x ^ {- 1}) ^ 3 – 3 (x + x ^ {- 1}) \ quad [\ daga] [/ matemática]

Poniendo [matemáticas] [\ daga] [/ matemáticas] en [matemáticas] [*] [/ matemáticas]:

[matemáticas] x ^ 5 + x ^ {- 5} = (x + x ^ {- 1}) ^ 5 – 5 ((x + x ^ {- 1}) ^ 3 – 3 (x + x ^ {- 1})) – 10 (x + x ^ {- 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + x ^ {- 1}) ^ 5 – 5 (x + x ^ {- 1}) ^ 3 +5 (x + x ^ {- 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ 5 – 5 (3 ^ 3) + 5 (3) = 123. [/ matemáticas]

Answer 16

x + 1 / x = 3
cuadrando ambos lados
x ^ 2 + 1 / x ^ 2 = 7
Multiplicando las 2 ecuaciones
x ^ 3 + x + 1 / x + 1 / x ^ 3 = 21 => x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 18
multiplicar la ecuación cúbica con la ecuación cuadrática
x ^ 5 + x + 1 / x + 1 / x ^ 5 = 126 => x ^ 5 + 1 / x ^ 5 = 123

Answer 17

123

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 4 + \ frac {1} {x ^ 4} = 47 [/ matemáticas]

Esto está utilizando la identidad [matemáticas] (a + \ frac {1} {a}) ^ 2 = a ^ 2 + \ frac {1} {a ^ 2} +2 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] (x + \ frac {1} {x}) (x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2}) = (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3}) + (x + \ frac {1} {x}) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 18. [/ math]

Entonces,

[matemáticas] (x + \ frac {1} {x}) (x ^ 4 + \ frac {1} {x ^ 4}) = (x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5}) + (x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = 123 [/ matemáticas]

Answer 18

Si x + 1 / x = 3, entonces encuentra

El valor de x ^ 5 + 1 / x ^ 5
(x + 1 / x) ^ 5 = 3 ^ 5
x ^ 5 + 5x ^ 3 + 10x + 10 / x + 5 / x ^ 3 + 1 / x ^ 5 = 243
(x ^ 5 + 1 / x ^ 5) +5 (x + 1 / x) (x ^ 2-1 + 1 / x ^ 2) + 30 = 243
(x ^ 5 + 1 / x ^ 5) +5 (3) (6) + 30 = 243
(x ^ 5 + 1 / x ^ 5) = 123

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Answer 19

La respuesta es 123

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Answer 20

Subir al quinto: (x + 1 / x) ^ 5 = 3 ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 3 + 10x + 10 / x + 5 / x ^ 3 + 1 / x ^ 5 = (x ^ 5 + 1 / x ^ 5) + 10 (x + 1 / x) + 5 (x ^ 3 + 1 / x ^ 3). Observe que el último término es el mismo que (x + 1 / x) ^ 3–3 (x + 1 / x) (x * 1 / x) = 3 ^ 3–3 * 3 = 18. Entonces tenemos: (3 ) ^ 5 = ans + 10 (3) + 5 (18), por lo que obtenemos: 243 – 30–90 = 123. Saludos.