¿Cuál es la ecuación de las tangentes dibujadas a la curva y ^ (2) – 2x ^ (2) – 4y + 8 = 0 desde el punto (1,2)?

Answer 1

Deje que la tangente de (1,2) a la curva se encuentre con la curva en (a, b).

Dado que (a, b) se encuentra en la curva que tenemos
[matemáticas] b ^ 2 – 2a ^ 2 – 4b + 8 = 0 [/ matemáticas]. —- (1)

La pendiente de una tangente (m) a una curva en (a, b) viene dada por el valor de [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] en [math] (a, b) [/ math].

Diferenciando ambos lados de la curva dada obtenemos
[matemáticas] 2y \ dfrac {dy} {dx} – 4x – 4 \ dfrac {dy} {dx} = 0 => \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2x} {y-2} [/ math ]

En (a, b) [matemáticas] m = \ dfrac {2a} {b-2} [/ matemáticas]. —– (2)

Como la tangente pasa por los puntos (1,2) y (a, b)
Pendiente de la tangente [math] m = \ dfrac {b – 2} {a – 1} [/ math]. —– (3)

De (2) y (3), obtenemos [matemáticas] \ dfrac {2a} {b – 2} = \ dfrac {b – 2} {a – 1} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] b ^ 2 – 2a ^ 2 + 2a – 4b + 4 = 0. [/ matemáticas] —- (4)

Restando la ecuación. (1) de (4), obtenemos
[matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]

Poniendo este valor de a en eqn. (1), obtenemos
[matemáticas] b = 4 o 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, hay dos posibles tangentes desde (1,2) hasta la curva dada. Una tangente se encuentra con la curva en (2,4) y la otra en (2,0).

La ecuación de las dos tangentes se puede encontrar usando la ecuación de una línea que pasa por dos puntos, es decir

Tangente que pasa por (1,2) y (2,4): –
[matemáticas] \ dfrac {y – 2} {x – 1} = \ dfrac {4 – 2} {2 – 1} = 2 => y = 2x [/ matemáticas]

Tangente que pasa por (1,2) y (2,0): –
[matemáticas] \ dfrac {y – 2} {x – 1} = \ dfrac {0 – 2} {2 – 1} = -2 => y = 4 – 2x [/ matemáticas]

Por lo tanto, hay dos posibles tangentes desde (1,2) hasta la curva dada y sus ecuaciones son y = 2x e y = 4 – 2x.

Answer 2

Deje que [math] y = mx + c [/ math] sea la tangente a [math] y ^ 2 – 2x ^ 2 – 4y + 8 = 0. [/ math] Sustituya la ecuación lineal en la curva para obtener los puntos de intersección.

[matemáticas] (mx + c) ^ 2 – 2x ^ 2 -4 (mx + c) + 8 = 0 [/ matemáticas]

Expandir y reorganizar.

[matemática] x ^ 2 (m ^ 2-2) + x (2mc-4m) + c ^ 2-4c + 8 = 0 [/ matemática]

Las raíces de esta ecuación darán las abscisas de los puntos de intersección. Dado que la tangente intersecará esta curva en un solo punto, debe haber solo una raíz real => el discriminante de la cuadrática anterior debe ser cero => [matemáticas] b ^ 2 = 4ac [/ matemáticas]

=> [matemáticas] [2m (c-2)] ^ 2 = 4 (m ^ 2-2) (c ^ 2-4c + 8) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] c = 2 \ pm \ sqrt {2m ^ 2-4} [/ matemáticas]

Sustituya esto nuevamente en la ecuación lineal.

[matemáticas] y = mx + 2 \ pm \ sqrt {2m ^ 2-4} [/ matemáticas]

Ahora, esta línea pasa por (1,2). Sustituir.

[matemáticas] 2 = m + 2 \ pm \ sqrt {2m ^ 2-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] => m = \ pm 2 [/ matemáticas]

Sustituya esto nuevamente en la ecuación de línea y obtenga y filtre las ecuaciones tangentes apropiadas. Obtendrá [matemáticas] y = 2x [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -2x + 4. [/ Matemáticas]

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Todo este gran cálculo se puede evitar si te das cuenta de que la curva dada es una hipérbola. Si recuerda la forma general de la tangente a una hipérbola, simplemente sustituya el punto dado para obtener las ecuaciones de la tangente rápidamente. Pero si olvida la forma general de la tangente a la hipérbola, esta es la forma de abordar este problema, en mi opinión.