Cómo evaluar el límite [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {\ sqrt {x} +1} {x-1} [/ math]

Answer 1

Otra forma de pensarlo es dividir la fracción de la siguiente manera:

\ begin {align} \ frac {\ sqrt {x} + 1} {x-1} = (\ sqrt {x} +1) \ frac {1} {x-1} \ end {align}

de donde podemos ver que:

1. Como x tiende a [matemática] 1 [/ matemática] desde el lado positivo , tenemos que [matemática] \ displaystyle \ sqrt {x} +1 \ a 2 [/ matemática] y que [matemática] \ displaystyle \ frac {1 } {x-1} \ to \ infty [/ math], por lo que debemos tener ese [math] \ displaystyle (\ sqrt {x} +1) \ frac {1} {x-1} \ to \ infty [/ matemáticas] también.
2. Como x tiende a [matemática] 1 [/ matemática] desde el lado negativo , tenemos que [matemática] \ displaystyle \ sqrt {x} +1 \ a 2 [/ matemática] y que [matemática] \ displaystyle \ frac {1 } {x-1} \ to – \ infty [/ math], por lo que debemos tener ese [math] \ displaystyle (\ sqrt {x} +1) \ frac {1} {x-1} \ to – \ infty [/ matemáticas] también.

O equivalente,

\ begin {align} \ lim_ {x \ to 1+} \ frac {\ sqrt {x} + 1} {x-1} & = \ infty & \ lim_ {x \ to 1-} \ frac {\ sqrt { x} + 1} {x-1} & = – \ infty \ end {align}

mostrando así que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ frac {\ sqrt {x} + 1} {x-1} [/ math] está mal definido . Aquí, una imagen vale más que mil palabras:

PD: nos hemos basado implícitamente en algunas leyes de límites relativas a los infinitos para hacer nuestro trabajo. En realidad, hay 6 conjuntos de ellos, que se elaboran ampliamente en este módulo en límites infinitos.

Answer 2

Hay 2 formas en las que puedo pensar.

Una es evaluar la parte superior e inferior por separado. Observe que la parte superior se acerca a 2, mientras que la parte inferior se acerca a 0. Por lo tanto, la parte superior sigue siendo un número normal mientras que la parte inferior se vuelve infinitesimalmente pequeña. Un número dividido por un infinitesmall es infinitamente grande, por lo tanto, se aproxima al infinito. Tenga en cuenta que puede acercarse al infinito positivo o negativo dependiendo de si se acerca a 1 desde arriba o desde abajo.

La otra forma es factorizarlo y cancelar términos similares (la parte inferior es factorizable) y luego evaluar.

Answer 3

Los límites solo existen si la función crece arbitrariamente cerca de un número real y permanece allí cuando el argumento se acerca a su valor límite. A veces, los matemáticos dirán informalmente que un límite es infinito si la función crece más que cualquier número real a medida que el argumento se acerca al valor límite (o infinito negativo si crece más pequeño que cualquier número real).

Su límite no existe porque la función no crece cerca de ningún número real. Tampoco podemos decir informalmente que es [math] \ pm \ infty [/ math] porque para todos los argumentos mayores que uno, la función es positiva y para todos los argumentos menores que uno, es negativa. Eso significa que no crece arbitrariamente grande para todos los argumentos lo suficientemente cerca, ya que siempre podemos elegir un valor justo debajo de uno que dé un resultado debajo de cero. Del mismo modo, no crece arbitrariamente pequeño, ya que podemos encontrar argumentos arbitrariamente cercanos a uno que den un resultado positivo.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1} \ dfrac {\ sqrt {x} +1} {x-1} [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {\ sqrt {x} +1} {(\ sqrt {x} +1) (\ sqrt {x} -1)} [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {1} {\ sqrt {x} -1} [/ math]

Tenemos un problema,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1 ^ {+}} \ dfrac {1} {\ sqrt {x} -1} = + \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1 ^ {-}} \ dfrac {1} {\ sqrt {x} -1} = – \ infty [/ math]

[math] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {\ sqrt {x} +1} {x-1} = [/ math] no existe