Los puntos a, byc se colocan en una recta numérica al azar entre 0 y 1. ¿Cuál es el valor esperado de min (a, b, c)?

Answer 1

Deje que [matemáticas] A, B, C [/ matemáticas] sean las posiciones de los tres números colocados aleatoriamente entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] A, B, C [/ matemáticas] son ​​iid [matemáticas] \ text {Unif} (0,1) [/ matemáticas]. Deje [math] X = \ min \ left (A, B, C \ right) [/ math]. Queremos encontrar [math] \ mathbb {E} (X) [/ math]. Para hacerlo, primero encontraremos el CDF de [math] X [/ math], luego su densidad y finalmente su expectativa.

CDF de [matemáticas] X [/ matemáticas]:

Para [matemáticas] 0 <x <1 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} F_X (x) & = & \ Pr \ left (X \ leq x \ right) \\ & = & 1- \ Pr \ left (X> x \ right) \\ & = & 1- \ Pr \ left (\ min \ left (A, B, C \ right)> x \ right) \\ & = & 1- \ Pr \ left (A> x, B> x, C> x \ derecha) \\ & = & 1- \ left (\ Pr \ left (A> x \ right) \ Pr \ left (B> x \ right) \ Pr \ left (C> x \ right) \ right) \\ & = & 1- \ left (1- x \ right) ^ 3 \ end {eqnarray *} [/ math]

Para [matemáticas] x \ leq 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} F_X (x) = \ Pr \ left (X \ leq x \ right) = 0 \ end {eqnarray *} [/ math]

Para [matemáticas] x \ geq 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} F_X (x) = \ Pr \ left (X \ leq x \ right) = 1 \ end {eqnarray *} [/ math]

PDF de [matemáticas] X [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} f_X (x) = \ begin {cases} 3 \ left (1- x \ right) ^ 2 & \ text {if} 0 <x <1 \\ 0 & \ text {de lo contrario } \ end {cases} \ end {eqnarray *} [/ math]

Expectativa de [matemáticas] X [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ mathbb {E} (X) = \ int_0 ^ 13x (1-x) ^ 2dx = \ frac {1} {4} \ end {eqnarray *} [/ math]