Ahi esta
[matemáticas] W (x) + W (y) = W \ left (xy \ left (\ frac {1} {W (x)} + \ frac {1} {W (y)} \ right) \ right) [/matemáticas].
que es como [matemáticas] \ log (x) + \ log (y) = \ log (xy) [/ math]. No es tan simple, pero tampoco es una función tan simple como [math] \ log (x) [/ math].
Fuente:
- Si las raíces [matemáticas] \ alpha, \ beta [/ matemáticas], de la ecuación [matemáticas] x ^ 2- (3k + 2) x + (7k + 1) = 0 [/ matemáticas], son tales que [matemáticas] 2 \ alpha – \ beta = 1 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] k [/ math]?
- ¿Cuál es la suma infinita de [matemáticas] \ dfrac {1} {7} + \ dfrac {2} {7 ^ 2} + \ dfrac {3} {7 ^ 3} + \ dfrac {1} {7 ^ 4} + \ cdots [/ math]?
- Si [matemática] x ^ 3- \ dfrac {1} {x ^ 3} = 14 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] x- \ dfrac {1} {x} [/ matemática]?
- Cómo saber qué operación realizar primero al resolver una ecuación
- ¿[Matemática] 1 / 2x [/ matemática] representa [matemática] \ frac12 x [/ matemática] o [matemática] \ frac1 {2x} [/ matemática]?
Función Lambert W
¿Cómo harías para probarlo? Bueno, existe la identidad más simple que se deriva de la definición que dice [matemáticas] W (x) e ^ {W (x)} = x [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ frac {x} {W (x)} = e ^ {W (x)} [/ matemáticas].
Tomar el exponencial del lado izquierdo da
[matemáticas] e ^ {W (x) + W (y)} = e ^ {W (x)} e ^ {W (y)} = \ frac {x} {W (x)} \ frac {y} {W (y)} [/ matemáticas]
lo que da [matemáticas] xy \ frac {1} {W (x)} \ frac {1} {W (y)} [/ matemáticas]. Luego, multiplique ambos lados por [matemática] W (x) + W (y) [/ matemática], simplifique y tome [matemática] W [/ matemática] de ambos lados; el lado izquierdo debería ser fácil de simplificar.
Por cierto, puede deducir que [math] \ log (x) + \ log (y) = \ log (xy) [/ math] del hecho de que [math] \ log [/ math] es el inverso de [math] e ^ x [/ math]:
[matemáticas] e ^ {\ log (x) + \ log (y)} = e ^ {\ log (x)} e ^ {\ log (y)} = xy [/ matemáticas]
luego tome [math] \ log [/ math] de ambos lados.