Si las raíces [matemáticas] \ alpha, \ beta [/ matemáticas], de la ecuación [matemáticas] x ^ 2- (3k + 2) x + (7k + 1) = 0 [/ matemáticas], son tales que [matemáticas] 2 \ alpha – \ beta = 1 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] k [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] k = [/ matemáticas] {[matemáticas] 0,2 [/ matemáticas]}

Considere la forma estándar de la ecuación cuadrática:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Sabemos que [matemática] – [/ matemática] [matemática] \ dfrac {b} {a} [/ matemática] es la suma de las raíces y [matemática] \ dfrac {c} {a} [/ matemática] es el producto de raíces

Además, [math] 2 \ alpha- \ beta = 1 \ rightarrow \ beta = 2 \ alpha-1 [/ math].

Entonces,

[matemáticas] 3k + 2 = \ alpha + \ beta = 3 \ alpha-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k + 1 = \ alpha [/ matemáticas].

Y

[matemáticas] 7k + 1 = \ alpha \ beta = \ alpha (2 \ alpha-1) [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] 7k + 1 = (k + 1) (2k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k ^ 2-2k = 0 [/ matemáticas]

Entonces, obtenemos [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas].

Answer 2

Si [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​las raíces, entonces [math] x ^ 2- (3k + 2) x + (7k + 1) = (x- \ alpha) (x- \ beta) = x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta [/ math].

Identifique los términos lineales de las dos expresiones anteriores entre sí, e identifique los términos constantes de las dos expresiones. Finalmente, suma la última ecuación. Eso lo convierte en un sistema (¡no lineal!) De tres incógnitas y tres ecuaciones.