¿Cuál es la suma infinita de [matemáticas] \ dfrac {1} {7} + \ dfrac {2} {7 ^ 2} + \ dfrac {3} {7 ^ 3} + \ dfrac {1} {7 ^ 4} + \ cdots [/ math]?

Answer 1

Llamemos todo el asunto S.

[matemáticas] S = \ frac {1} {7} + \ frac {2} {7 ^ 2} + \ frac {3} {7 ^ 3} + \ frac {1} {7 ^ 4} +… [/ matemáticas]

Aw hombre, eso es un montón de 7 en los denominadores. Multipliquemos todo por 7 para deshacernos de una de las fracciones.

[matemáticas] 7S = 1 + \ frac {2} {7} + \ frac {3} {7 ^ 2} + \ frac {1} {7 ^ 3} + \ frac {2} {7 ^ 4} +… [/matemáticas]

Shucks Todavía hay fracciones sin fin con [matemáticas] 7 [/ matemáticas] en el denominador. Multipliquemos ambos lados de la ecuación por [matemáticas] 7 [/ matemáticas] nuevamente.

[matemáticas] 49S = 7 + 2 + \ frac {3} {7} + \ frac {1} {7 ^ 2} + \ frac {2} {7 ^ 3} + \ frac {3} {7 ^ 4} +… [/ Matemáticas]

Hm. Hagámoslo una vez más. ¿Qué es lo peor que puede pasar?

[matemáticas] 343S = 49 + 14 + 3 + \ frac {1} {7} + \ frac {2} {7 ^ 2} + \ frac {3} {7 ^ 3} + \ frac {1} {7 ^ 4} +… [/ matemáticas]

Oye, esas fracciones en el lado derecho parecen familiares, ¡es justo con lo que comenzamos, [matemáticas] S [/ matemáticas]!

[matemáticas] 343S = 49 + 14 + 3 + S [/ matemáticas]

[matemáticas] 342S = 66 [/ matemáticas] y es fácil ver desde aquí que [matemáticas] S = 66/342 = 11/57 [/ matemáticas].

Answer 2

La serie geométrica general.

[matemáticas] s = a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +… [/ matemáticas]

[matemáticas] rs = ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +… [/ matemáticas]

[matemáticas] s – rs = a [/ matemáticas]

[matemáticas] s (1-r) = a [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ dfrac {a} {1-r} [/ matemáticas]

Esto converge para [matemáticas] | r | <1 [/ matemáticas].

OK, a la pregunta.

[matemáticas] \ dfrac {1} {7} + \ dfrac {2} {7 ^ 2} + \ dfrac {3} {7 ^ 3} + \ dfrac {1} {7 ^ 4} + \ dfrac {2} {7 ^ 5} + \ dfrac {3} {7 ^ 6} + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {7 ^ 3} (7 ^ 2 + 2 \ cdot 7 + 3) + \ dfrac {1} {7 ^ 6} (7 ^ 2 + 2 \ cdot 7 + 3) + \ dfrac {1} {7 ^ 9} (7 ^ 2 + 2 \ cdot 7 + 3) + \ dots [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {66} {7 ^ 3} + \ dfrac {66} {7 ^ 6} + \ dfrac {66} {7 ^ 9} + \ puntos [/ matemáticas]

Tenemos [math] a = \ dfrac {66} {7 ^ 3} [/ math]. [matemáticas] r = \ dfrac {1} {7 ^ 3} [/ matemáticas].

[matemáticas] s = \ dfrac {66/7 ^ 3} {1 – \ frac {1} {7 ^ 3}} = \ dfrac {11} {57} \ aprox .19298 [/ matemáticas]

Answer 3

Usando geometría fórmula infinita

s_infinity = a / (1-r)

aquí

a = 1/7

r = 1/7 ^ 3

s_infinity = (1/7) / (1- (1/7 ^ 3))

s_infinity = (49 + 14 + 3) / 342

s_infinity = 11/57

Calculadora de series infinitas

Answer 4

Suponiendo la inferencia obvia sobre cuáles son los términos restantes, podemos dar el nombre S a la suma total:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ frac {1} {7} + \ frac {2} {7 ^ 2} + \ frac {3} {7 ^ 3} + \ frac {1} {7 ^ 4} + \ frac {2} {7 ^ 5} + \ frac {3} {7 ^ 6} +… [/ matemáticas]

Entonces podemos extraer cada tercer término

[matemáticas] \ displaystyle S_1 = \ frac {1} {7} + \ frac {1} {7 ^ 4} + \ frac {1} {7 ^ 7} +… = \ frac {49} {342} [/ matemáticas]

Entonces podemos inferir que

[matemáticas] \ displaystyle S = S_1 + \ frac {2} {7} S_1 + \ frac {3} {7 ^ 2} S_1 = \ frac {66} {49} S_1 [/ math]