Si [matemática] x ^ 3- \ dfrac {1} {x ^ 3} = 14 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] x- \ dfrac {1} {x} [/ matemática]?

Answer 1

2

[matemáticas] x ^ 3- \ dfrac {1} {x ^ 3} = 14 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- \ dfrac {1} {x}) (x ^ 2 + 1 + \ dfrac {1} {x ^ 2}) = 14 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- \ dfrac {1} {x}) ((x- \ dfrac {1} {x}) ^ 2 + 3) = 14 [/ matemáticas]

Esto se puede escribir como [matemáticas] t (t ^ 2 + 3) = 14 [/ matemáticas]

Primero buscaré soluciones enteras.

[matemáticas] 14 = 2 \ veces7 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] t = 2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] t ^ 2 + 3 = 7 [/ matemáticas]

Como puede ver, funciona.

Entonces, un valor que [math] t [/ math] puede tomar es 2 .

Ahora, considere [matemáticas] y = t ^ 3 + 3t-14 [/ matemáticas]

Diferenciando, [matemáticas] y ‘= 3t ^ 2 + 3 [/ matemáticas]. Esto es positivo para todos los valores reales de [math] t [/ math]. Entonces, [math] y [/ math] es una función que aumenta continuamente. Por lo tanto, [math] y [/ math] se convierte en cero en un solo valor de [math] t [/ math], que está en 2.

Entonces, el único valor real que [matemáticas] x- \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas] puede tomar es [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

También se puede llegar a esta conclusión dividiendo [matemáticas] y [/ matemáticas], entre [matemáticas] (t-2) [/ matemáticas]. Obtenemos [matemáticas] t ^ 2 + 2t + 7 [/ matemáticas], que claramente no tiene ceros reales.

Answer 2

(x-1 / x) ^ 3 = x ^ 3–1 / x ^ 3–3 * x * 1 / x * (x-1 / x),

Supongamos que Y = (x-1 / x);

Ahora la ecuación se convierte

Y ^ 3 = 14–3 * Y;

Y ^ 3 + 3 * Y-14 = 0; ——— (1);

ahora si ponemos

Y = 2;

La ecuación 1 se evalúa a cero.

entonces

Y ^ 2 * (Y-2) + 2 * Y * (Y-2) + 7 * (Y-2) = 0;

(Y-2) * (Y ^ 2 + 2 * Y + 7) = 0;

el factor cuadrático de esta ecuación no puede factorizarse más porque D = b ^ 2–4 * a * c; es negativo y, por lo tanto, las raíces son imaginarias.

Entonces Y = 2 solamente;

y por lo tanto X-1 / X = 2;

Answer 3

1. (ab) ^ 3 = a ^ 3-b ^ 3-3.ab (ab)
2. a ^ 3-b ^ 3 = (ab) ^ 3 + 3.ab (ab)
3. x ^ 3–1 / x ^ 3 = (x-1 / x) ^ 3 + 3.x.1 / x (x-1 / x)
4. (x-1 / x) ^ 3 + 3.x.1 / x (x-1 / x) = x ^ 3–1 / x ^ 3
5. (x-1 / x) ^ 3 + 3 (x-1 / x) = 14
6. let (x-1 / x) = t entonces
7. t ^ 3 + 3.t-14 = 0
8. t = 2 satisfizo la ecuación y también la diferenciación de t ^ 3 + 3.t-14 con respecto
9. to t es g (t) = 3.t ^ 2 + 3 yy g (t) = 0
10. 3.t ^ 2 + 3 = 0
11. t ^ 2 = -1
12. entonces no hay ningún valor real para t que satisfaga t ^ 2 = -1
13. entonces t = 2 es la única solución
14. entonces t = (x-1 / x) = 2

Answer 4

Tome x-1 / x = ty cubelo, obtendrá

t ^ 3 = x ^ 3-1 / x ^ 3-3 (x-1 / x)

= 14-3t

=> t ^ 3 + 3t-14 = 0

=> (t-2) (t ^ 2 + 2t + 7) = 0

=> t = 2 (como t ^ 2 + 2t + 7> 0)

Por lo tanto, x-1 / x = 2

Espero que esto funcione…….

Answer 5

Deje [math] x- \ frac {1} {x} = p [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = p ^ 2 + 2 [/ matemáticas]

Entonces, obtenemos

[matemáticas] (p ^ 2 + 2) (p) = (x ^ 3- \ frac {1} {x ^ 3}) – (x- \ frac {1} {x}) = (x ^ 3- \ frac {1} {x ^ 3}) – p [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] (p ^ 3 + 3p) = 14 [/ matemáticas]

Por simple observación, obtenemos [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas] como raíz.

Entonces, [matemáticas] (p-2) (p ^ 2 + 2p + 7) = 0 [/ matemáticas]

El discriminante para la segunda parte es [matemáticas] 4-28 = -24 <0 \ Rightarrow [/ matemáticas] no hay otras raíces reales.

Entonces, obtenemos [math] x- \ frac {1} {x} = 2 [/ math] como la respuesta real (como en [math] \ in \ mathbb {R} [/ math]).

Podemos escribir todas las respuestas juntas como:

[matemáticas] x- \ frac {1} {x} = p = [/ matemáticas] {[matemáticas] 2, [/ matemáticas] [matemáticas] (- 1 + i \ sqrt {6}), – 1-i \ sqrt {6}) [/ math]}

Answer 6

Answer 7

Espero que hayas entendido …… 🙂