Cómo encontrar el valor del producto infinito [matemáticas] \ frac {7} {9}. \ Frac {26} {28}. \ frac {63} {65} … .. \ frac {n ^ 3 -1} {n ^ 3 +1}…. [/matemáticas]

Answer 1

Considera esto:

Sabemos,

[matemáticas] n ^ 3 + 1 = (n + 1) (n ^ 2-n + 1) \\ [/ matemáticas] y [matemáticas] n ^ 3-1 = (n-1) (n ^ 2 + n +1) \\ [/ matemáticas]

Entonces,

Podemos romper el producto como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n ^ 3-1} {n ^ 3 + 1} = \ prod \ frac {n-1} {n + 1} \ cdot \ prod \ frac {n ^ 2 + n + 1} {n ^ 2-n + 1}} [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n-1} {n + 1} = \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {2} {4} \ cdot \ frac {3} {5} \ cdot \ frac {4} {6} \ cdot \ frac {5} {7} \ cdot \ frac {6} {8} \ dots} [/ math]

Por lo tanto, el numerador de cada término se cancela con el denominador del término 2 términos anteriores, dejando que el producto sea:

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n-1} {n + 1} = 2} [/ matemáticas]

En cuanto al segundo término en el producto original (tenga en cuenta que [matemática] n [/ matemática] comienza desde 2),

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n ^ 2 + n + 1} {n ^ 2-n + 1} = \ frac {7} {3} \ cdot \ frac {13} {7} \ cdot \ frac {21} {13} \ cdot \ frac {31} {21} \ dots} [/ math]

Por lo tanto, el numerador de cada término se cancela con el denominador del siguiente término, dejando que el producto sea:

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n ^ 2 + n + 1} {n ^ 2-n + 1} = \ frac {1} {3}} [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] \ displaystyle {\ prod \ frac {n ^ 3-1} {n ^ 3 + 1} = \ frac {2} {3}} [/ matemáticas]

QED

Answer 2

Primero tenemos que demostrar que el producto converge. El factor general es
[matemáticas] 1 – \ frac {2} {n ^ 3 + 1} [/ matemáticas] y la convergencia del producto es equivalente a la convergencia de la suma de [matemáticas] \ frac {2} {n ^ 3 + 1} [ /matemáticas]. Esto converge en comparación con la integral de [math] \ frac {1} {x ^ 3} [/ math]. (Nota: la convergencia de un producto se define de manera diferente a una serie; si el producto tiende a cero, decimos que el producto diverge a cero).

La prueba dada por Ashutosh Jha comienza correctamente, pero la cancelación entre diferentes factores debe hacerse con precaución. Siempre encuentre el producto para N factores y luego deje que N tienda al infinito. Es fácil ver que al dividirse en dos productos, el primero diverge a cero (todos los factores son menores que 1 y el producto de los primeros tres es 1/10) y el segundo producto diverge al infinito (todos los factores son mayores que 1 y el producto de los primeros tres es 7).

El producto hasta el factor cuando [matemática] n = N [/ matemática] (el producto comienza en [matemática] n = 2 [matemática]) después de la cancelación como en la respuesta de Ashutosh Jha es [matemática] \ frac {1 \ veces 2 } {N (N + 1)} [/ math] mientras que el segundo producto hasta este factor es [math] \ frac {N ^ 2 + N + 1)} {3} [/ math]. Tenga en cuenta que los productos separados tienden a 0 e infinito, pero su producto al factor cuando [matemática] n = N [/ matemática] es [matemática] \ frac {2} {3} \ frac {N ^ 2 + N + 1 )} {N ^ 2 + N} [/ matemáticas]. Como el segundo factor tiende a [matemática] 1 [/ matemática], el producto es [matemática] \ frac {2} {3} [/ matemática].

¿Por qué las otras respuestas son correctas? Resulta que los errores se cancelan. En cuanto a una serie condicionalmente convergente, la reorganización de la orden debe hacerse con precaución.

Answer 3

En primer lugar, buena pregunta!

Aquí está la solución:

Espero que lo entiendas.