Si [math] (5-2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2-1} + (5 + 2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2-1} = 10 [/ math] entonces el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

Como ya habrían entendido a estas alturas, esta pregunta tiene que ver con la observación.

Observando que hay una presencia de conjugado que conduce a una ecuación cuadrática.

Observar que la suma de cada término (conjugado) es en realidad el número en la rhs.

Pero cómo lo observas …

Como puedo ver que se está preparando para un examen de ingreso, intentaré responder en consecuencia.

En primer lugar, esta observación es un poco difícil de entender si la estás haciendo por primera vez. Si no puede hacerlo en el primer intento, no es un problema. Pero la esencia es que ahora sabes que esa forma se usa en las preguntas. Entonces, la próxima vez que vea un formulario de este tipo, hará clic inmediatamente.

Esto viene por práctica.

Editar: vale la pena mencionar que la suma de conjugados es el no. en rhs. Entonces, el poder debe ser 1 para igualar ambos lados. Solo obtendrá una solución parcial para esta pregunta utilizando este método. Pero sí, vale la pena mencionarlo.

Answer 2

Lo primero que debe golpearse es que [math] 5–2 \ sqrt6 = \ dfrac {1} {5 + 2 \ sqrt6} [/ math]. Una vez que reconozca esto, todo lo que queda es convertir la ecuación dada en una forma más amigable y proceder metódicamente.

( actualización-> ) Reconocer esto requiere el conocimiento de una identidad popular: [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = (x + y) (xy) [/ matemáticas].

Podemos ver aquí que, [matemática] 5 ^ 2 = 25 [/ matemática] y [matemática] (2 \ sqrt6) ^ 2 = 24 [/ matemática], y por lo tanto su diferencia es [matemática] 1 [/ matemática]. Usando la identidad mencionada anteriormente, podemos escribir [matemáticas] 1 = (x + y) (xy) [/ matemáticas], si [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2 \ sqrt6 [/ matemáticas ] En consecuencia, [matemáticas] (x + y) = 1 / (xy) [/ matemáticas]. De hecho, uno debería buscar tales patrones cuando encuentre preguntas como esta. Viene con práctica, y eventualmente podrá obtener el enfoque correcto más rápido, con el tiempo.

Ahora, volviendo a la pregunta. Por conveniencia, supongamos que [math] 5–2 \ sqrt6 = a [/ math], entonces tendremos [math] 5 + 2 \ sqrt6 = \ dfrac {1} {a} [/ math]

Además, deje que [math] x ^ 2–1 = y [/ math]. Usando las sustituciones, la ecuación se puede simplificar como:

[matemáticas] a ^ y + \ dfrac {1} {a ^ y} = 10 [/ matemáticas]

Multiplicando [matemáticas] a ^ y [/ matemáticas] a lo largo, obtenemos

[matemáticas] (a ^ y) ^ 2 – 10a ^ y + 1 = 0 [/ matemáticas]

Lo anterior es una ecuación cuadrática en [matemáticas] a ^ y [/ matemáticas]. Pero, por conveniencia, supongamos que [math] z = a ^ y [/ math]. Entonces, podemos escribir la ecuación anterior como:

[matemáticas] z ^ 2 -10z + 1 = 0 [/ matemáticas]

Usando la fórmula cuadrática (enlace: La fórmula cuadrática de la academia Khan)

[matemáticas] z = \ dfrac {- (- 10) \ pm \ sqrt {10 ^ 2–4}} {2 \ veces 1} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = \ dfrac {10 \ pm \ sqrt {96}} {2} [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = 5 \ pm \ sqrt {\ dfrac {96} {4}} [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = 5 \ pm \ sqrt {24} [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = 5 \ pm \ sqrt {4 \ times 6} [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = 5 \ pm \ sqrt {2 ^ 2 \ times 6} [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] z = 5 \ pm 2 \ sqrt {6} [/ math]

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] z = a ^ y = 5 \ pm 2 \ sqrt6 [/ matemáticas]

Pero, [matemáticas] a [/ matemáticas] = [matemáticas] 5–2 \ sqrt6; [/ matemáticas]

entonces, tenemos dos posibilidades:

[matemáticas] (5–2 \ sqrt6) ^ y = (5–2 \ sqrt6) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] y = 1 [/ math]

o, [matemáticas] (5–2 \ sqrt6) ^ y = (5 + 2 \ sqrt6) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] y = -1 [/ math]

Ahora, podemos sustituir back [math] y [/ math] y obtener los valores requeridos de [math] x [/ math].

[matemáticas] x ^ 2–1 = \ pm 1 [/ matemáticas]

De [math] +1 [/ math], obtenemos [math] x ^ 2 = 2 [/ math] [math] \ Rightarrow [/ math] [math] x = \ pm \ sqrt {2} [/ math]

y, de [matemática] -1 [/ matemática], obtenemos [matemática] x ^ 2 = 0 [/ matemática] [matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] x = 0 [/ matemática]

Por lo tanto, en total, hay tres valores posibles de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Son [matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ pm \ sqrt2 [/ matemáticas]. Entonces, la opción correcta será D) todo lo anterior

---

Espero que esto ayude. Avísame si hay algún problema

2 ediciones: explicaciones según lo solicitado

Answer 3

[matemáticas] 5–2 \ sqrt {6} = \ dfrac {25–24} {5 + 2 \ sqrt {6}} = \ dfrac {1} {5 + 2 \ sqrt {6}} [/ matemáticas]

Deje [math] y = 5 + 2 \ sqrt {6} [/ math]

Entonces

[matemáticas] y ^ {x ^ 2–1} + \ dfrac {1} {y ^ {x ^ 2–1}} = 10 [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] z = y ^ {x ^ 2–1} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] z + \ dfrac {1} {z} = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z ^ 2-10z + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z = \ dfrac {10 \ pm \ sqrt {100–4}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z = 5 \ pm 2 \ sqrt {6} [/ matemáticas]

Volver a sustituir, tenemos

[matemáticas] y ^ {x ^ 2–1} = 5 + 2 \ sqrt {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (5 + 2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2–1} = 5 + 2 \ sqrt {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2–1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ pm \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] (5 + 2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2–1} = 5–2 \ sqrt {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (5 + 2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2–1} = \ dfrac {1} {5 + 2 \ sqrt {6}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2–1 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 0 [/ matemáticas]

---

Soluciones: [math] \ boxed {x = 0, \ pm \ sqrt {2}} [/ math]

Answer 4

Puedes notar que
5-2√6 = 1 / (5 + 2√6). Úselo para convertir la ecuación dada en una ecuación cuadrática y resuelva para obtener los valores de x. Vea la solución completa publicada por mí …… ..

Espero que esto funcione…..
EDITAR x = -√2 también es una solución …

Answer 5

podemos observar que

[matemáticas] (5–2 \ sqrt {6}) (5 + 2 \ sqrt {6}) = 25–24 = 1 por lo tanto [/ matemáticas]

\ dfrac {1} {[matemática] 5–2 \ sqrt {6}} = [/ matemática] [matemática] (5 + 2 \ sqrt {6}) [/ matemática] [matemática] o [/ matemática] vice vcersa

entonces sus poderes pueden ser -1 o 1

[matemáticas] x ^ 2–1 = -1 [/ matemáticas] [matemáticas] o [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 2–1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ pm \ sqrt2 [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas] es una solución obvia.

Pero si notas (5–2root6) (5 + 2root6) = 1.

Entonces 1 / (5–2root6) + 1 / (5 + 2root6) también es igual a 10.

Entonces x = 0 también es una solución válida.

En preguntas como estas, intente verificar todas las opciones

Answer 7

[matemáticas] \ dfrac {1} {5-2 \ sqrt6} = \ dfrac {1} {5-2 \ sqrt6} \ cdot \ dfrac {5 + 2 \ sqrt6} {5 + 2 \ sqrt6} = \ dfrac { 5 + 2 \ sqrt6} {25-24} = 5 + 2 \ sqrt6 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] \; z = (5-2 \ sqrt6) ^ {x ^ 2-1} [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ dfrac {1} {z} = \ dfrac {1} {\ left (5-2 \ sqrt 6 \ right) ^ {x ^ 2-1}} = \ left (\ dfrac {1} {5 -2 \ sqrt 6} \ right) ^ {x ^ 2-1} = \ left (5 + 2 \ sqrt 6 \ right) ^ {x ^ 2-1} [/ math]

Sustituir en ecuación:

[matemáticas] \ left (5-2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2-1} + \ left (5 + 2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2-1} = 10 [/ math]

[matemáticas] z + \ frac {1} {z} = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 + 1 = 10z [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 – 10z + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 5 \ pm 2 \ sqrt6 [/ matemáticas]

Ahora resuelve para x:

[matemáticas] \ left (5-2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2–1} = 5 \ pm 2 \ sqrt6 [/ math]

[matemáticas] \ left (5-2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2–1} = 5 + 2 \ sqrt6 \; \ text {o} \; 5 – 2 \ sqrt6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (5-2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2–1} = \ frac {1} {5 – 2 \ sqrt6} \; \ text {o} \; 5 – 2 \ sqrt6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (5-2 \ sqrt6 \ right) ^ {x ^ 2–1} = \ left (5 – 2 \ sqrt6 \ right) ^ {- 1} \; \ text {o} \; \ left (5 – 2 \ sqrt6 \ right) ^ 1 [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 – 1 = -1 \; \ text {o} \; 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = 0 \; \ text {o} \; 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ boldsymbol {x = 0, \; \ pm \ sqrt 2}} [/ math]

Answer 8

dado que el producto de 5 + 2sqrt (6) y su conjugado es 1, entonces cuando sumamos esos dos números, entonces si la potencia de dos números es impar (ya sea positiva o negativa), ese valor es igual a dos veces la parte racional, por lo tanto | x ^ 2–1 | debe ser extraño

todas las opciones satisfacen

o de lo contrario, verificar a través de las opciones es la forma más rápida

Answer 9

Tu ans será la opción 3

La suma es demasiado fácil

Tome los valores que se dan en opción y colóquelos en la ecuación. Y podrás resolver el problema.

Gracias por leer.

Answer 10

Answer 11

En este tipo de problemas (donde debe calcular el valor de X), si no sabe por dónde empezar o cómo debe comenzar a resolver, coloque todos los valores en la opción en el lugar de X y simplifique y obtendrá Obtenga su respuesta. Cuál es la opción d en este caso.

Answer 12

Puede poner los valores dados en las opciones y verificar que todos los valores dados satisfagan la ecuación. Por lo tanto, ans es la opción D (todo lo anterior).