Encuentre el discriminante de la ecuación cuadrática.
La forma general de una ecuación cuadrática es:
[matemáticas] Ax ^ 2 + Bx + C = 0, \ hspace {2mm} A ≠ 0 [/ matemáticas]
El discriminante de la ecuación cuadrática anterior está dado por:
- ¿Hay algún truco de memoria que conozca para recordar la derivada e integral de [matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] y no cambiarlas?
- Si x e y siguen la distribución normal multivariante, ¿qué tal x / (x + y)? ¿Podemos mostrar que x / (x + y) sigue la distribución Beta?
- ¿Cuál es la forma más eficiente de resolver [matemáticas] x ^ 2-7 = 0 [/ matemáticas]?
- ¿La raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] también podría considerarse [matemáticas] -i [/ matemáticas] así como [matemáticas] + i [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el rango de sin ^ -1 (X ^ 2 + 0.5)?
[matemáticas] ∆ = B ^ 2 – 4AC [/ matemáticas]
¿Por qué se llama discriminante?
Este valor discrimina (distingue) las raíces de la ecuación. ¿Cómo?
Conocemos la fórmula bien conocida para encontrar raíces de una ecuación cuadrática:
[matemáticas] x = \ dfrac {-B \ pm \ sqrt {B ^ 2 – 4AC}} {2A} [/ matemáticas]
El valor dentro de la raíz cuadrada decide la naturaleza de las raíces de la ecuación.
Si [math] \ hspace {2mm} [/ math] [math] B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} [/ math] [math]> 0 [/ math], entonces las raíces son reales y distintas (desiguales) [Debido a la presencia de [matemáticas] \ pm [/ matemáticas]].
Si [math] \ hspace {2mm} B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} = [/ math] [math] 0 [/ math], entonces las raíces son reales e iguales [Porque la raíz cuadrada de 0 es 0].
Si [math] \ hspace {2mm} B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} <[/ math] [math] 0 [/ math], entonces las raíces son imaginarias [porque la raíz cuadrada de un número negativo es compleja o imaginaria ]
Ahora, encontremos al discriminante.
De la ecuación dada
[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2 + 2 (ac + bd) x + (c ^ 2 + d ^ 2) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] A = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] B = 2 (ac + bd) [/ matemáticas]
[matemáticas] C = c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] ∆ = B ^ 2 – 4AC = [/ matemáticas] [matemáticas] (2 (ac + bd)) ^ 2 – 4 (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 (a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2d ^ 2 + 2acbd) – 4 (a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 + b ^ 2d ^ 2) [/ matemáticas ]
[matemáticas] [Dado que, \ hspace {2mm} (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab] [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4a ^ 2c ^ 2 + 4b ^ 2d ^ 2 + 8acbd – 4a ^ 2c ^ 2 – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 – 4b ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 8abcd – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]
Aquí, no podemos decidir nada ya que no conocemos la naturaleza o los valores de a, b, c y d.
Dado que las raíces son reales ,
[matemáticas] ∆ \ geq 0 [/ matemáticas]
[No sabemos si las raíces son iguales o no. Pero, dado que las raíces se dan como reales, tenemos el discriminante para que sea mayor que cero o igual a cero.]
[matemática] 8abcd – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 \ hspace {2mm} \ geq 0 [/ matemática]
[matemáticas] -4 (b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 – 2abcd) \ hspace {2mm} \ geq 0 [/ math]
Dividiendo por -4,
[matemática] b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 – 2abcd \ hspace {2mm} \ leq 0 [/ matemática]
[Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el signo relacional. Por ejemplo, 4> 3 implica -4 <-3.]
[matemática] (bc) ^ 2 + (ad) ^ 2 – 2 (bc) (ad) \ hspace {2mm} \ leq 0 [/ math]
[matemática] (bc-ad) ^ 2 \ leq 0 [/ matemática]
[matemáticas] [Dado que, \ hspace {2mm} a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = (a + b) ^ 2] [/ matemáticas]
Como las raíces son reales, el discriminante no puede ser menor que 0. Por lo tanto,
[matemática] ∆ = (bc-ad) ^ 2 = 0 [/ matemática]
Por lo tanto, las raíces son iguales .