Demuestre que si las raíces de la ecuación (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2 + 2x (AC + bd) + c ^ 2 + d ^ 2 = 0 son reales, ¿serán iguales?

Encuentre el discriminante de la ecuación cuadrática.

La forma general de una ecuación cuadrática es:

[matemáticas] Ax ^ 2 + Bx + C = 0, \ hspace {2mm} A ≠ 0 [/ matemáticas]

El discriminante de la ecuación cuadrática anterior está dado por:

[matemáticas] ∆ = B ^ 2 – 4AC [/ matemáticas]

¿Por qué se llama discriminante?

Este valor discrimina (distingue) las raíces de la ecuación. ¿Cómo?

Conocemos la fórmula bien conocida para encontrar raíces de una ecuación cuadrática:

[matemáticas] x = \ dfrac {-B \ pm \ sqrt {B ^ 2 – 4AC}} {2A} [/ matemáticas]

El valor dentro de la raíz cuadrada decide la naturaleza de las raíces de la ecuación.

Si [math] \ hspace {2mm} [/ math] [math] B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} [/ math] [math]> 0 [/ math], entonces las raíces son reales y distintas (desiguales) [Debido a la presencia de [matemáticas] \ pm [/ matemáticas]].

Si [math] \ hspace {2mm} B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} = [/ math] [math] 0 [/ math], entonces las raíces son reales e iguales [Porque la raíz cuadrada de 0 es 0].

Si [math] \ hspace {2mm} B ^ 2 – 4AC \ hspace {2mm} <[/ math] [math] 0 [/ math], entonces las raíces son imaginarias [porque la raíz cuadrada de un número negativo es compleja o imaginaria ]

Ahora, encontremos al discriminante.

De la ecuación dada

[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2 + 2 (ac + bd) x + (c ^ 2 + d ^ 2) = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] A = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] B = 2 (ac + bd) [/ matemáticas]

[matemáticas] C = c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] ∆ = B ^ 2 – 4AC = [/ matemáticas] [matemáticas] (2 (ac + bd)) ^ 2 – 4 (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2d ^ 2 + 2acbd) – 4 (a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 + b ^ 2d ^ 2) [/ matemáticas ]

[matemáticas] [Dado que, \ hspace {2mm} (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4a ^ 2c ^ 2 + 4b ^ 2d ^ 2 + 8acbd – 4a ^ 2c ^ 2 – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 – 4b ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 8abcd – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]

Aquí, no podemos decidir nada ya que no conocemos la naturaleza o los valores de a, b, c y d.

Dado que las raíces son reales ,

[matemáticas] ∆ \ geq 0 [/ matemáticas]

[No sabemos si las raíces son iguales o no. Pero, dado que las raíces se dan como reales, tenemos el discriminante para que sea mayor que cero o igual a cero.]

[matemática] 8abcd – 4b ^ 2c ^ 2 – 4a ^ 2d ^ 2 \ hspace {2mm} \ geq 0 [/ matemática]

[matemáticas] -4 (b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 – 2abcd) \ hspace {2mm} \ geq 0 [/ math]

Dividiendo por -4,

[matemática] b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 – 2abcd \ hspace {2mm} \ leq 0 [/ matemática]

[Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el signo relacional. Por ejemplo, 4> 3 implica -4 <-3.]

[matemática] (bc) ^ 2 + (ad) ^ 2 – 2 (bc) (ad) \ hspace {2mm} \ leq 0 [/ math]

[matemática] (bc-ad) ^ 2 \ leq 0 [/ matemática]

[matemáticas] [Dado que, \ hspace {2mm} a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = (a + b) ^ 2] [/ matemáticas]

Como las raíces son reales, el discriminante no puede ser menor que 0. Por lo tanto,

[matemática] ∆ = (bc-ad) ^ 2 = 0 [/ matemática]

Por lo tanto, las raíces son iguales .

[matemáticas] {a ^ 2} {x ^ 2} + 2acx + {c ^ 2} + {b ^ 2} {x ^ 2} + 2bdx + {d ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha {(ax + c) ^ 2} + {(bx + d) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = – \ frac {c} {a} [/ math] y [math] – \ frac {d} {b} [/ math]

al mismo tiempo y, por lo tanto, los dos valores de [math] x [/ math] son ​​iguales.

Las raíces son reales y equivalentes.

Espero que les guste esto …

Discriminante [matemática] \ Delta \ ge 0 [/ matemática]

[matemáticas] 4 (ac + bd) ^ 2 – 4 (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -4 (ab-cd) \ ge 0 [/ matemáticas]

Simplificando,

[matemáticas] (ab-cd) ^ 2 \ le 0 [/ matemáticas]

Un cuadrado menor o igual a 0 es 0. Esto significa que

[matemática] (ab-cd) ^ 2 = 0 [/ matemática], o [matemática] \ Delta = 0 [/ matemática]

Las raíces son por lo tanto iguales.

Como ∆ = 0, las raíces son reales e iguales.

El estudio de raíces valoradas reales es predecible para que el valor del discriminante D sea ≥0. En este caso D = √ {B²-4AC} = √ [{2 (ac + bd) ²-4 (a² + b²) ( c² + d²)}] = √4 [(ac + bd) ²- (a² + b²) (c² + d²)]

= (ac + bd) ²- (a² + b²) (c² + d²) = a²c² + b²d² + 2acbd-a²c²-a²d²-b²c²-b²d² = 2abcd-a²d²-b²c² = – (ad-bc) ² => D≤ 0.Pero el valor predecible de D es ≥ 0. Por lo tanto, satisfacer las dos afirmaciones podría implicar D = 0. Para lo cual las ecuaciones cuadráticas tienen raíces iguales reales.