¿La raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] también podría considerarse [matemáticas] -i [/ matemáticas] así como [matemáticas] + i [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] (- i) ^ 2 = (-1) ^ 2 \ cdot i ^ 2 = 1 \ cdot -1 = -1 [/ matemáticas]

Entonces -i también es una raíz cuadrada de -1.

Así como cada número positivo real tiene dos raíces cuadradas, también lo tiene cada número negativo real. Y también lo hace cada número imaginario. Esto se debe a que [matemática] x ^ 2 = c [/ matemática] tiene las mismas soluciones que [matemática] x ^ 2 – c = 0 [/ matemática], y por el teorema fundamental del álgebra este polinomio puede factorizarse en dos lineales raíces (Tenga en cuenta que c = 0 es un caso especial donde las raíces son ambas 0. Pero ese es el único caso de este tipo).

Con números reales positivos, una raíz siempre será positiva y la otra será negativa. Eso proporciona una forma canónica de distinguir las raíces: la raíz cuadrada principal se define como la raíz positiva. Eso es lo que te da [math] \ sqrt {x} [/ math]. Y si necesita la otra raíz, escriba [math] – \ sqrt {x} [/ math]. Ambas raíces? [matemáticas] \ pm \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Lo mismo se aplica a los números complejos. Especie de. No hay forma canónica de elegir una raíz de -1. Sabemos que hay dos de ellos, y arbitrariamente etiquetamos uno como i. Por propiedad de la raíz cuadrada, la otra debe ser negativa: [math] -1 \ cdot i = -i [/ math]. Una vez que hemos elegido una raíz, es natural extender la definición de la raíz cuadrada principal para elegir la raíz “positiva”. Es decir, [matemáticas] \ sqrt {-1} = i [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que los números complejos no son positivos ni negativos. Pero elegir la raíz sin el suspiro negativo es una cuestión de conveniencia. Si definiéramos [math] \ sqrt {-1} = -i [/ math] las cosas seguirían funcionando, pero tendríamos que voltear el signo cada vez que sacamos un -1 de una raíz. Por ejemplo, [math] \ sqrt {-3} = -i \ sqrt {3} [/ math]. Eso sería molesto y propenso a errores.

Sin embargo, debido a que la elección de i fue arbitraria, podríamos haber elegido la otra raíz, llámela j. Mientras la elección sea consistente, no importa cuál elija. Podríamos cambiar cada i a j en cada línea de matemáticas y todos los resultados seguirían siendo correctos. No es necesario voltear la señal.

Answer 2

Podrías ver esto desde una perspectiva polar. La forma polar de un número es [math] r (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) [/ math], donde [math] r [/ math] es el módulo o valor absoluto de un número, y [math] \ theta [/ math] es el argumento. El número [math] -1 [/ math] puede representarse como [math] 1 (\ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi)) [/ math].

Luego, la raíz [matemática] n [/ matemática] de un número complejo dado [matemática] z [/ matemática] se puede encontrar con [matemática] z_k ^ {\ frac {1} {n}} = r ^ {\ frac {1} {n}} (\ cos (\ frac {\ theta} {n} + \ frac {2k \ pi} {n}) + i \ sin (\ frac {\ theta} {n} + \ frac {2k \ pi} {n})) [/ math], donde [math] k [/ math] es cada número entero entre [math] 0 [/ math] y [math] n-1 [/ math], inclusive.

La raíz cuadrada de un número es lo mismo que encontrar el número elevado a la potencia de [math] \ frac {1} {2} [/ math], por lo que en este caso, [math] n = 2 [/ math], y así, obtenemos [matemáticas] z_k ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (\ cos (\ frac {\ pi} {2} + \ frac { 2k \ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2} + \ frac {2k \ pi} {2})) [/ math].

Debido a que [matemática] n = 2 [/ matemática], tenemos que encontrar la solución para [matemática] k = 0 [/ matemática] y [matemática] k = 1 [/ matemática].

Comenzando con [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_0 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (\ cos (\ frac {\ pi} {2} + \ frac {2 (0) \ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2} + \ frac {2 (0) \ pi} {2})) [/ math]

[matemáticas] \ implica z_0 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (\ cos (\ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2})) [/ math]

[matemáticas] \ implica z_0 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (0 + i) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z_0 ^ {\ frac {1} {2}} = i [/ matemáticas]

Del mismo modo, con [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] z_1 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (\ cos (\ frac {\ pi} {2} + \ frac {2 (1) \ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2} + \ frac {2 (1) \ pi} {2})) [/ math]

[matemáticas] \ implica z_1 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (\ cos (\ frac {3 \ pi} {2}) + i \ sin ( \ frac {3 \ pi} {2})) [/ math]

[matemáticas] \ implica z_1 ^ {\ frac {1} {2}} = 1 ^ {\ frac {1} {2}} (0-i) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z_1 ^ {\ frac {1} {2}} = – i [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtenemos [math] \ sqrt {-1} = – i, i [/ math].

Answer 3

Convencionalmente, de reales a reales, una “raíz cuadrada” de [matemáticas] x [/ matemáticas] no está definida para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] y se toma como la solución positiva [matemáticas] y [/ matemáticas] de [ matemática] y ^ 2 = x [/ matemática] para positivo o cero [matemática] x [/ matemática].

Pero para complejo a complejo, no hay forma de elegir un valor preferido. En física, cuando se usan números complejos, el uso de la expresión “raíz cuadrada” es descuidado.

La forma más fácil de ver esto es usar la representación polar de números complejos. Cualquier número complejo [math] z [/ math] puede escribirse como [math] re ^ {i \ theta} [/ math], donde [math] r [/ math] es real y [math] r> 0 [/ matemáticas]. Luego, subiendo a la potencia 1/2, obtenemos [math] \ sqrt {r} e ^ {i \ theta / 2} [/ math]. Pero no hay una manera única de definir [math] \ theta [/ math]: puede agregar [math] 2 \ pi n [/ math] donde [math] n [/ math] es cualquier número entero. Esta no unicidad le dará 2 valores posibles cuando saque raíz cuadrada, 3 valores cuando saque raíz cúbica, etc.

Apliquemos esto a -1: [matemáticas] -1 = e ^ {i \ pi} = e ^ {3i \ pi} = e ^ {5i \ pi} = e ^ {(2n + 1) i \ pi} [ /matemáticas]. Tome la potencia de 1/2 y obtendrá [matemáticas] e ^ {(n + 1/2) i \ pi} [/ matemáticas]. Obtiene i si n es par y -i si n es impar.

Entonces “raíz cuadrada” no es una función adecuada en el plano complejo: un valor de entrada, dos valores de salida.

Answer 4

Voy a ir con ‘no (a menos que haya más contexto para la frase)’. Abordar los puntos en orden inverso:

¿(-I) ^ 2 es igual a -1? Sí lo hace.

La raíz cuadrada de 9 puede ser tanto 3 como -3. Aquí, no estoy de acuerdo. Considere la frase “el camino de Topeka a Wichita”. Miras en un mapa y deduces que me estoy refiriendo a la I-335, fusionándome con la I-35. Y es perfectamente razonable y correcto hacerlo, es el significado principal de la frase. Pero si tuviera que decir ‘el camino de Topeka a Wichita que tomó mi tía’, eso podría referirse a la I-70 seguida de la I-135.

Entonces, ¿está mal decir que ‘el camino de Topeka a Wichita’ es I-335 / I-35? ¿Es correcto decir que ‘el camino de Topeka a Wichita’ es la I-70 / I-135? ‘La (frase)’ donde (frase) en realidad podría referirse a más de una cosa, significa, por defecto, una de esas cosas en particular: la más fundamental, la más básica, la más relevante para el tema de conversación actual, o alguna mezcla de estas consideraciones y posiblemente otras.

‘El’ camino de Topeka a Wichita (sin más contexto) es la I-335 / I-35. La carretera ‘A’ es I-335 / I-35, y también la carretera ‘a’ es I-70 / I-135. ‘The roads’ es un conjunto que incluye ambos (y otros). ‘La’ raíz cuadrada de 9 (sin contexto adicional) es 3. (Un ejemplo de contexto adicional podría ser ‘, la raíz cuadrada que da la respuesta deseada para una pregunta de tarea particular es -3’, que podría ser el caso con un ecuación de movimiento cuadrática y una pregunta que solicita la aparición más temprana de un evento.) La raíz cuadrada ‘A’ es 3, y también la raíz cuadrada ‘a’ es -3. ‘Las raíces cuadradas’ es un conjunto que incluye 3 y -3.

‘La’ raíz cuadrada de -1, al igual que ‘la’ carretera, se refiere a la principal de un conjunto de opciones: se refiere a i, particularmente. A menos que sea en un contexto como, ‘la raíz cuadrada de -1 que da la respuesta deseada para algún problema’.

Answer 5

La definición de unidad imaginaria es

[matemáticas] (\ rm {i}) ^ {2}: = – 1 [/ matemáticas].

Y [matemáticas] (- \ rm {i}) ^ {2} = (- 1 \ cdot \ rm {i}) ^ {2} = (-1) ^ {2} \ cdot (\ rm {i}) ^ {2} = 1 \ cdot (-1) = – 1, [/ matemáticas]

Por lo tanto, la raíz cuadrada de -1 son i y -i, es decir

[matemáticas] \ sqrt {-1} = \ rm {i}, – \ rm {i}. [/ matemáticas]

Answer 6

No hay diferencia en la definición de [math] \ mathbb {C} [/ math] como cierre algebraico de [math] \ mathbb {R} [/ math]. Esto significa que no importa cómo definamos [matemáticas] (- 1) ^ {(1/2)} [/ matemáticas] como [matemáticas] i [/ matemáticas] o [matemáticas] -i [/ matemáticas] el campo se comporta exactamente lo mismo.

En otras palabras.

Hay exactamente 2 automorfismos de campo en [math] \ mathbb {C} [/ math] que son la identidad en [math] \ mathbb {R} [/ math]

Uno es la identidad, el otro es [math] x \ mapsto \ overline {x} [/ math]

También puede hacerlo, pero elegir [matemáticas] i [/ matemáticas] es más conveniente.

Answer 7

¿Podría la raíz cuadrada de -1 también considerarse -i y + i?

[matemática] x [/ matemática] es * a * raíz cuadrada de [matemática] y [/ matemática] en cualquier grupo, [matemática] (S, \ cdot) [/ matemática], si [matemática] x ^ 2 \ equiv x \ cdot x = y [/ math]. Si también se define una adición, podríamos tener un Anillo o un Campo, [math] (S, +, \ cdot) [/ math], en el que se define un inverso aditivo, en cuyo caso [math] -x [/ math ] es * otra * raíz cuadrada porque la multiplicación se distribuye sobre la suma en estas estructuras.

Los números complejos, [math] (\ mathbb C, +, \ cdot) [/ math], forman un campo con [math] i [/ math] una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math] así que sí , [math] -i [/ math] también es una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math]. De hecho, los números complejos tienen una dualidad que significa que puede elegir entre [matemáticas] + i [/ matemáticas] o [matemáticas] -i [/ matemáticas] como la unidad compleja. Como resultado, si [matemática] P (x) [/ matemática] es cualquier polinomio real con una raíz compleja [matemática] z = v + iw [/ matemática], entonces el conjugado complejo, [matemática] \ bar {z} = u-iw [/ math], también es una raíz. El caso de [math] x ^ 2 + 1 = 0 \ Rightarrow x = \ pm i [/ math] es un ejemplo específico de este teorema.

Answer 8

La respuesta a la pregunta principal es: Sí.

Answer 9

Por supuesto. Una raíz cuadrada tiene DOS soluciones, con el mismo valor absoluto y signo opuesto, y en general una enésima raíz tiene n soluciones.

Answer 10

recuerde ‘i’ es notación para el término sqrt (-1)
No es la solución.