¿Hay algún truco de memoria que conozca para recordar la derivada e integral de [matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] y no cambiarlas?

Answer 1

Puede haber un truco de memoria. Piense en la integral [matemática] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ {k}} \ mathrm dx = – \ dfrac {1} {(k-1) x ^ {k-1}} [/ math ] Como puede ver fácilmente, el exponente [matemática] k [/ matemática] del integrando es uno más que el de la antiderivada. Pero con [math] k = 1 [/ math] esto no sería posible ya que [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \ mathrm dx [/ math] no es una constante. Y aquí viene [math] \ ln (x) [/ math] como salvador.

Tal vez recuerde o sepa que la serie armónica [matemáticas] \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac 1 n [/ matemáticas] es divergente. Esta serie está íntimamente relacionada con la integral [matemática] \ displaystyle \ int \ limits_ {1} ^ \ infty \ dfrac {1} {x} \ mathrm dx [/ math], que también es divergente. Pero si sabe, que [math] \ displaystyle \ int \ limits_ {1} ^ y \ dfrac {1} {x} \ mathrm dx = \ ln (y) [/ math], esto no debería ser una sorpresa ya que [matemáticas] \ lim_ {y \ to \ infty} \ ln (y) = \ infty [/ math].

Answer 2

Lo básico que conozco es [math] \ int \ dfrac {1} {x} = \ ln x [/ math].

Esto significa que el área debajo del gráfico [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] es [matemática] \ ln x [/ matemática]

Por el contrario, si tenemos [math] \ ln x [/ math] como antidiferenciación de [math] \ frac {1} {x} [/ math], entonces diferenciar [math] \ ln x [/ math] producirá [math ] \ frac {1} {x} [/ math].

Pero, ¿qué pasa si integramos [matemáticas] \ ln x [/ matemáticas]?

Para empezar, tenemos que usar la integración por partes.

[matemáticas] \ int \ ln x [/ matemáticas]

Establezca [math] u = \ ln x [/ math], [math] dv = dx [/ math]. Entonces [math] du = \ dfrac {1} {x} [/ math] y [math] v = x [/ math].

[matemáticas] \ int \ ln xdx = x \ ln x- \ int x \ cdot \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ ln xdx = x \ ln x- \ int1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ ln xdx = x \ ln xx [/ matemáticas]

Creo que es muy simple memorizar la función de diferenciación e integración.

Answer 3

(i) Para la derivada

[matemáticas] y = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x ^ {- 1} [/ matemáticas]

Usando la regla de poder;

[matemática] y ‘= -1 x ^ {- 2} = – \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemática]

Entonces piensa:

derivada de [matemáticas] x ^ {- 1} [/ matemáticas] es [matemáticas] – \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces la derivada de [math] ln x [/ math] es [math] \ frac {1} {x} [/ math]

Luego sigue:

La integral de [math] \ frac {1} {x} [/ math] es [math] ln x [/ math]

Por lo tanto, la integral de [math] ln x [/ math] es otra cosa [math] x ln x – x [/ math] en realidad.

Answer 4

Me imagino la diferenciación y la integración como una especie de escalera, sin los términos y factores constantes apropiados.

[matemáticas] \ qquad x ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ 1 [/ matemáticas]

Los poderes negativos son la imagen especular y se ven así

[matemáticas] \ qquad x ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ {- 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ {- 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ downarrow \ uparrow \ int [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ {- 5} [/ matemáticas]

Entonces, el único lugar en el que [math] \ ln (x) [/ math] puede caber es justo arriba de [math] x ^ {- 1} [/ math] para que [math] \ frac {d (\ ln ( x))} {dx} = x ^ {- 1} [/ math] y [math] \ int x ^ {- 1} dx = \ ln (x) [/ math] nuevamente ignorando la constante de integración.

Una cosa que tengo en cuenta aquí es que cuando diferenciamos [matemática] x ^ 0 [/ matemática] obtenemos [matemática] 0 [/ matemática] y esto es una especie de piso irrompible para la “escalera sobre el suelo” y esto es por eso que [math] \ ln (x) [/ math] solo puede ir por encima de [math] x ^ {- 1} [/ math] en la “escalera subterránea”.

Por supuesto, podemos integrar [math] \ ln (x) [/ math] pero esta imagen mental de las escaleras tiene una simetría agradable que no deja dudas sobre dónde debe [math] \ ln (x) [/ math] ir.

Answer 5

Hmm, entiendo tu problema! Solía ​​enfrentarlo con bastante frecuencia también.

La mejor solución, como se ha propuesto, es definitivamente practicar tan duro que se convierte en una segunda naturaleza. De esa manera no cometerás errores.

Forma alternativa :

Recuerda la gráfica de ln (x). Relájate en tu cerebro. Tome nota, a medida que x aumenta, el gráfico se vuelve más y más plano; casi paralelo a la abscisa. Obviamente, esto indica que la pendiente es cada vez menor, que es exactamente lo que hace la función de 1 / x. Entonces está bastante seguro de que d / dx (lnx) = 1 / x.

Answer 6

Recuerde que 1 / x = x ^ -1, y recuerde que la integral de x ^ n (para n! = 1) es x ^ (n + 1) / (n + 1). Probar la regla de potencia para integrales para x ^ -1 le daría una respuesta que no tendrá sentido para ningún límite. (Sin embargo, la regla de potencia para derivados todavía funciona normalmente para x ^ -1).

Como el OP estaba preocupado por confundir la derivada y la integral de 1 / x y ln (x), podríamos recordar que d / dx ln (x) = 1 / x. Una integral también se llama antiderivada, por lo que en la mayoría de los problemas, es suficiente conocer la derivada.

Answer 7

Recuerde que usando la regla de potencia, la derivada de 1 / x es [matemática] \ frac {-1} {x ^ 2} [/ matemática] por lo que no puede ser lnx. Entonces, la única opción que queda para la integral de 1 / x es lnx. Sabiendo esto, invierta el proceso para obtener 1 / x como derivada de lnx.

Answer 8

Mira la gráfica de y = 1 / x. Su derivada es claramente negativa para números positivos, sin embargo, el logaritmo natural siempre es positivo después de x = 1, por lo que ln (x) no puede ser la derivada de 1 / x, sino que es integral.

Answer 9

Resuelva 10-20 preguntas de cálculo que involucren 1 / xy ln (x) continuamente. Aprender con la práctica es la mejor manera en comparación con cualquier otro método. Ayuda a largo plazo con seguridad.

Answer 10

Te daré el mejor truco de todos. Resuelva alrededor de un centenar de ejercicios relacionados con esos dos derivados: puede consultar una tabla de derivados tantas veces como desee. Después de eso, estoy seguro de que habrás memorizado esos derivados :). Pero para ayudarlo un poco más, preste atención a que 1 / x = x ^ {- 1}, y que (x ^ n) ‘= nx ^ {n-1}, en particular, (x ^ {- 1 }) ‘= -.x ^ {- 2} – estoy seguro de que esto ayudará.

Answer 11

La mejor manera de recordar estas fórmulas será derivar estas fórmulas para usted al menos una vez por cualquier método que conozca. Hacer esto asegura que esté en condiciones de resolverlo en el examen, si tiene alguna confusión o lo que sea. Dado que no puede permitirse el lujo de perder el tiempo con esto, en el examen, le recomiendo que lo obtenga de la mejor manera posible, y será útil. Incluso no necesita recordar porque puede resolver esto en cualquier caso, ya que sabe cómo derivarlo. Este método realmente funciona para mí y espero que también funcione para usted.

Buena suerte.

Answer 12

El mejor consejo que puedo dar es: si recuerdas que la derivada de ln (x) es 1 / x, entonces te darás cuenta automáticamente de que la integral (que es la anti-derivada) simplemente va hacia atrás y, por lo tanto, la integral de 1 / x sería ln (x). Cuando se le pide que encuentre la integral de 1 / x, simplemente piense, “¿la derivada de lo que me da 1 / x?” Lo siento si eso no es demasiado útil.