Si x e y siguen la distribución normal multivariante, ¿qué tal x / (x + y)? ¿Podemos mostrar que x / (x + y) sigue la distribución Beta?

Answer 1

El vector aleatorio [matemático] (X, Y) ^ T [/ matemático] sigue una distribución normal multivariada continua si y solo si el vector aleatorio [matemático] (X, X + Y) ^ T [/ matemático] sigue un multivariante continuo distribución normal. Por lo tanto, la pregunta es cuál es la distribución de la razón de dos variables aleatorias normales, distribuidas normalmente de manera conjunta, potencialmente correlacionadas.

Resulta que, en general, la distribución es muy compleja; ver Distribución de proporciones para más detalles. Sin embargo, la proporción no se distribuirá en Beta, porque es negativa y mayor que [math] 1 [/ math] con una probabilidad positiva.

Nota: [math] X / (X + Y) [/ math] es Beta distribuido si [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son ​​variables distribuidas Gamma independientes con el mismo parámetro de forma; vea esta sección de la página de Wikipedia sobre la distribución Beta.

Answer 2

La proporción de dos variables aleatorias normales estándar independientes sigue la distribución estándar de Cauchy, por lo que, en general, esto no se distribuirá en beta. Si [matemáticas] X, Y [/ matemáticas] son ​​independientes pero no están distribuidas de forma idéntica, puede adaptar fácilmente la prueba de ese resultado estándar para calcular la distribución de esta relación. Si no son independientes pero se distribuyen normalmente de manera conjunta, entonces podría ser posible con cierta inteligencia. Si ni siquiera son conjuntamente normales, no creo que puedas decir mucho.