¿Cuál es la raíz cuadrada de un número imaginario negativo?

Answer 1

[matemáticas] \ sqrt {-i} = \ sqrt {-1} \ sqrt {i} = i \ sqrt {i} [/ matemáticas]

Entonces necesitamos la raíz cuadrada de i. Será un número complejo para que:

[matemáticas] (a + bi) ^ {2} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {2} + (2ab) i – b ^ {2} – i = 0 [/ matemáticas]

Debido a que la parte real e imaginaria son iguales a cero, podemos decir:

[matemáticas] a ^ {2} – b ^ {2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2ab – 1 = 0 [/ matemáticas]

Resolviendo esta segunda ecuación para a:

[matemáticas] a = \ frac {1} {2b} [/ matemáticas]

Al conectar esto a la primera ecuación:

[matemáticas] \ frac {1} {4b ^ {2}} – b ^ {2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {4} – b ^ {4} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ {4} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a + bi = \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {i \ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

Entonces [math] \ sqrt {-i} = i (\ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {i \ sqrt {2}} {2}) [/ math]

[matemáticas] = – \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {i \ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

Porque [math] – (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {i \ sqrt {2}} {2}) [/ math] también satisface [math] (a + bi) ^ { 2} = -i [/ math] también es una respuesta.

Answer 2

Es tan simple como la raíz cuadrada del número positivo.

La raíz cuadrada no existe para el número negativo. Por eso se dice imaginario.

Deje tomar la raíz cuadrada de -x

Raíz cuadrada (-x)

Se puede escribir como raíz cuadrada de (-1) multiplicada por la raíz cuadrada de (x).

Y la raíz cuadrada de (-1) es i o j comúnmente conocida como iota. Y representa un número imaginario.

Y la raíz cuadrada de (x) es la misma que la raíz cuadrada de x positivo.

Por ejemplo:

¿Cuál es la raíz cuadrada de -4?

Se puede escribir como raíz cuadrada de -1 multiplicada por raíz cuadrada de 4.

Raíz cuadrada de -1 = i

Raíz cuadrada de 4 = 2

Por lo tanto, la raíz cuadrada de -4 es 2i.

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Nota: Si alguien puede comentar para ayudarme a escribir la raíz cuadrada en Quora en forma matemática. Estaré realmente agradecido con él o ella.

PD : Soy nuevo en Quora. Entonces su ayuda sería muy apreciada. 🙂

Answer 3

Hay dos raíces cuadradas de cada número imaginario [matemáticas] ai: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {ai} = \ frac {\ sqrt2} {2} a – \ frac {\ sqrt 2} {2} a \; yo [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ sqrt {ai} = – \ frac {\ sqrt2} {2} a + \ frac {\ sqrt 2} {2} a \; yo [/ matemáticas]

Answer 4

¿Cuál es la raíz cuadrada de un número imaginario negativo?

Sea [math] z [/ math] el número negativo puro de Cardanean [1], entonces podemos escribir [math] z = -r ^ 2i [/ math] donde:

• [math] r [/ math] es un número positivo de Archimedean; y
• [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] es la unidad cardaneana.

Al igual que todos los números distintos de cero en un campo, [math] z [/ math] tiene dos raíces cuadradas:

[matemáticas] \ quad \ sqrt z = \ frac {\ pm r} {\ sqrt2} (1-i) [/ matemáticas]

Esto se deduce de [matemáticas] (1-i) ^ 2 = 1-2i + i ^ 2 = -2i [/ matemáticas].

Se considera que la raíz cuadrada principal es la raíz con un componente de Archimedean no negativo: [math] \ frac {r} {\ sqrt2} (1-i) [/ math]

Notas al pie

[1] La respuesta de Alan Bustany a ¿Qué propones como mejores nombres para los números “reales” y “complejos”? ¿Con qué nombres podríamos reemplazarlos en los próximos siglos?