Otras respuestas han proporcionado la respuesta requerida, que es:
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {- \ frac {1} {4}} = \ frac {i} {2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que en el caso tenemos una ecuación de la forma:
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 = – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
- Si [math] (5-2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2-1} + (5 + 2 \ sqrt {6}) ^ {x ^ 2-1} = 10 [/ math] entonces el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la respuesta de la siguiente secuencia 2 + 12 + 36 + 80 + 150 +…. 30 términos =?
- ¿Cuál es la raíz cuadrada de un número imaginario negativo?
- Demuestre que si las raíces de la ecuación (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2 + 2x (AC + bd) + c ^ 2 + d ^ 2 = 0 son reales, ¿serán iguales?
- ¿Hay algún truco de memoria que conozca para recordar la derivada e integral de [matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] y no cambiarlas?
habría dos raíces (cuadradas):
[matemáticas] \ displaystyle x = \ pm \ sqrt {- \ frac {1} {4}} = \ pm \ frac {i} {2} [/ matemáticas]
A continuación, daré algunos resultados educativos y “más ricos” que son iguales a [matemáticas] \ sqrt {- \ frac {1} {4}} [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {- \ frac {1} {4}} = \ left (\ pm \ frac {1} {2} \ pm \ frac {i} {2} \ right) ^ 2 [/ math ]
[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ frac {1} {4} \ sqrt [3] {4} \ left (\ sqrt {3} + i \ right) \ right) ^ 3 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ frac {1} {4} \ left (-2 ^ {3/4} \ right) \ left (\ sqrt {\ sqrt {2} + 2} + \ sqrt {2 – \ sqrt {2}} i \ right) \ right) ^ 4 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} e ^ {\ displaystyle \ frac {i \ pi} {2}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = e ^ {i \ pi} \ left (1 – \ frac {i} {2} \ right) + 1 [/ math]
Aquí hay una relación más compleja:
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {- \ frac {1} {4}} = \ frac {e ^ {\ displaystyle (\ frac {i F} {I_ 1 I_ 2 I_ 3})}} {\ Gamma (3 )}[/matemáticas]
En la relación anterior, [math] \ Gamma [/ math] es la función Gamma, y
[matemáticas] \ displaystyle F = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (3 ^ k – 1 \ right) \ zeta (k + 1)} {4 ^ k} [/ math ]
donde [math] \ displaystyle \ zeta (k) [/ math] es la función zeta de Riemann.
También hay tres integrales:
[matemáticas] \ displaystyle I_ 1 = \ int_ 0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ 2} {e ^ t} \, dt [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle I_ 2 = \ int_ 0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ 5 (t) \ cos (t) \, dt [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle I_ 3 = e ^ {\ displaystyle \ int_ 0 ^ 1 \ frac {(x – 1) (x + 2)} {\ ln (x)} \, dx} [/ math]
Finalmente, aquí hay una gran relación informativa compleja:
[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {- \ frac {1} {4}} = \ frac {A_1 (A_4) ^ {A_5 A_6}} {A_2 A_3} [/ matemática]
Tenemos :
[matemáticas] \ displaystyle A_1 = B (p, q) [/ matemáticas]
donde [matemática] B (p, q) [/ matemática] es la función Beta dada por:
[matemáticas] \ displaystyle B (a, b) = \ frac {(\ Gamma (a)) (\ Gamma (b))} {\ Gamma (a + b)} = \ int _ 0 ^ 1 t ^ {a – 1} (1 – t) ^ {b – 1} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle A_ 2 = \ Gamma \ left (F_ 4 \ right) \ int_ 0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2 p – 1} (\ theta) \ cos ^ { 2 q – 1} (\ theta) \, d \ theta [/ math]
donde [math] F_4 [/ math] es el cuarto número de Fibonacci.
Se aplican las siguientes condiciones:
[matemáticas] \ Re (q)> 0 \ tierra \ Re (p)> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle A_ 3 = \ int_ 0 ^ 1 \ ln ^ 2 \ left (\ frac {1} {t} \ right) \, dt [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle A_ 4 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(k – 1) ^ 2} {k!} = e [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle A_ 5 = (\ sqrt {-1}) ^ {\ displaystyle 26545 ^ 2 + 72004 ^ 2} [/ math]
Y
[matemáticas] \ displaystyle A_ 6 = \ sqrt {\ int_ 0 ^ {\ infty} \ ln \ left (\ frac {e ^ x + 1} {e ^ x – 1} \ right) \, dx} [/ math ]
Los cálculos y resultados anteriores se verificaron con Mathematica.
Espero que esta respuesta haya sido útil .