¿Cuántos términos quedan después de la expansión y sustracción de: [matemáticas] (x + y + 2z) ^ 8- (x + y) ^ 7- (2y + 3z) ^ 8 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero, veamos los exponentes en cada término de la expansión del primer término de su suma.

Los exponentes de [matemática] x, y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] se suman a [matemática] 8 [/ matemática].

Para la segunda parte, los exponentes en cada término suman [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Eso significa que ninguno de estos puede cancelarse entre sí.

Para la tercera parte, nuevamente los exponentes en cada término suman [math] 8 [/ math]. Es posible que tengamos algunas cancelaciones entre esta parte y la primera parte. Esto significaría que tenemos [matemáticas] x ^ ay ^ b2 ^ cz ^ c = 2 ^ por ^ b3 ^ cz ^ c [/ matemáticas], y [matemáticas] a = 0, b + c = 8 [/ matemáticas]. Podemos simplificar: [matemáticas] 2 ^ c = 2 ^ (8-c) 3 ^ c [/ matemáticas]. Eso significaría que hay un número entero [math] c [/ math] tal que [math] \ left (\ frac {4} {3} \ right) ^ c = 2 ^ 8 [/ math]. Claramente, tal número entero [matemática] c [/ matemática] no puede existir.

Todo esto significa que no hay términos cancelados. Entonces, ¿cuántos términos hay en total? La primera parte tendrá 45 términos [matemática] (\ sum_i = 0 ^ 9 i) [/ matemática]. La tercera parte no introducirá nuevos términos, sino que cambiará los coeficientes de los términos en la primera parte. La segunda parte contribuirá con [matemáticas] 8 [/ matemáticas] términos.

En total habrá 53 términos.