¿Cómo resolvería: [matemáticas] \ log (x) + 0.7x = 0 [/ matemáticas] algebraicamente sin trazar un gráfico?

Answer 1

Supongo que con [math] \ log [/ math] te refieres al logaritmo natural, [math] \ ln [/ math]. El logaritmo de base 10 generalmente se escribe [math] \ log_ {10} [/ math].

Tales combinaciones de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln x [/ matemáticas] (o [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]) generalmente solo se pueden resolver usando La función Lambert W.

[matemáticas] \ displaystyle \ ln x + 0.7x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff xe ^ {0.7x} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff 0.7xe ^ {0.7x} = 0.7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff 0.7x = W (0.7) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff x = \ frac {W (0.7)} {0.7} [/ matemáticas]

(utilizando la identidad [math] \ frac {W (x)} {x} [/ math] [math] = e ^ {- W (x)} [/ math])

[matemáticas] \ displaystyle \ iff x = e ^ {- W (0.7)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = 0.63924322 [/ matemáticas]

W es la función Lambert W (función de registro del producto). Es la función inversa de [math] y = x \ exp (x) [/ math]. En particular, [matemáticas] W (x) \ exp (W (x)) = x [/ matemáticas].

Vamos a ver si esta es la solución:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln \ frac {W (0.7)} {0.7} + W (0.7) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff \ frac {W (0.7)} {0.7} e ^ {W (0.7)} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff W (0.7) e ^ {W (0.7)} = 0.7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff 0.7 = 0.7 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Answer 2

Reescribiré la función como

[matemáticas] y_1 = \ log (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] y_2 = -0.7x [/ matemáticas]

[matemática] y_1 [/ matemática] aumenta monotónicamente sobre [matemática] (0, \ infty) [/ matemática]

[matemática] y_2 [/ matemática] disminuye monotónicamente sobre [matemática] \ R [/ matemática]

[math] \ implica [/ math] solo hay una solución para [math] y = \ log x + 0.7x [/ math]

---

En [matemáticas] x = 1; y = 0.7 (> 0) [/ matemáticas]

En [matemáticas] x = 0.5; y = 0.04 \ aproximadamente 0 [/ matemática] [La solución está muy cerca de [matemática] x = 0.5 [/ matemática]]

En [matemáticas] x = 0.25; y = -0.427 [/ matemáticas]

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Suponga que [math] f (x) = \ log x + 0.75x [/ math]. Aplicación del método de bisección entre [matemáticas] [0.25,0.5] [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {0.25 + 0.5} {2} = 0.375 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0.375) = – 0.16 [/ matemáticas]; reemplazando [matemática] 0.25 [/ matemática] por [matemática] 0.375 [/ matemática]

[matemáticas] x_2 = \ dfrac {0.375 + 0.5} {2} = 0.4375 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0.4375) = – 0.05 [/ matemáticas]; reemplazando [matemáticas] 0.375 [/ matemáticas] por [matemáticas] 0.4375 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = \ dfrac {0.4375 + 0.5} {2} = 0.46875 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0.46875) = – 0.65 [/ matemáticas]; reemplazando [matemática] 0.4375 [/ matemática] por 0 [matemática] .46875 [/ matemática]

[matemáticas] x_4 = \ dfrac {0.46875 + 0.5} {2} = 0.484375 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0,484375) = 0,02 [/ matemáticas]; reemplazar [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas] por [matemáticas] 0.484375 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 = \ dfrac {0.46875 + 0.484375} {2} = 0.476525 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0,476525) = 0,01 [/ matemáticas]; reemplazando [matemáticas] 0.484375 [/ matemáticas] por [matemáticas] 0.476525 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_6 = \ dfrac {0.46875 + 0.476525} {2} = 0.4726375 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (0,4726375) = 0,005 [/ matemáticas]; reemplazando [matemática] 0.476525 [/ matemática] por [matemática] 0.4726375 [/ matemática]

[matemáticas] x_7 = \ dfrac {0.46875 + 0.4726375} {2} = 0.47069375 [/ matemáticas]

La solución es [matemática] 0.47 [/ matemática] correcta a [matemática] 2 [/ matemática] lugares decimales.

---

Veamos si un código puede aportar alguna mejora a mi respuesta

Método de bisección

real a, b, tol

abierto (1, ARCHIVO = ‘output.txt’)

10 escribir (*, *) “Ingrese el intervalo para operar:”
leer (*, *) a, b
si (f (a) * f (b)> 0) entonces
write (*, *) “La función no se puede repetir, ¡vuelva a ingresar el intervalo!”
ir a 10
terminara si
escriba (*, *) ‘Ingrese el nivel de precisión:’
leer (*, *) tol

i = 0
hacer
i = i + 1
x1 = (a + b) / 2
si (f (x1) * f (a)> 0) entonces
a = x1
más si (f (x1) * f (b)> 0) entonces
b = x1
terminara si

escribir (1,20) i, x1, f (x1)
Formato 20 (2x, i3,2x, f9.6,2x, f9.6)

if (abs (x1-x2) x2 = x1
fin hacer

detener
fin
! ================================================= ========================
función real f (x)
f = LOG10 (x) + 0.7 * x
regreso
función final
================================================== ========================
Solución:
Ingrese el intervalo para operar: 0.25,0.5
Ingrese el nivel de precisión: 0.0001

output.dat (después de la ejecución)
Solución de iteración Valor de función
1 0.375000 -0.163469
2 0.437500 -0.052772
3 0.468750 -0.000934
4 0.484375 0.024244
5 0.476562 0.011714
6 0.472656 0.005405
7 0.470703 0.002239
8 0.469727 0.000654
9 0.469238 -0.000140
10 0.469482 0.000257
11 0.469360 0.000059
12 0.469299 -0.000041

que está bastante cerca de lo que he encontrado haciéndolo en lápiz y papel.

Método de Newton

real x_0, x, tol

abierto (1, ARCHIVO = ‘output.txt’)

escribir (*, *) “Ingrese el valor inicial”
leer (*, *) x_0
escriba (*, *) ‘Ingrese el nivel de precisión:’
leer (*, *) tol
escribir (1,10)
Formato 10 (2x, ‘Iteración’, 2x, ‘Solución’, 2x, ‘Valor de función’)

i = 0
hacer
i = i + 1
x = x_0- (f (x_0) / fp (x_0))
escribir (1,20) i, x, f (x)
Formato 20 (2x, i3,2x, f9.6,2x, f9.6)
if (abs (x-x0) x_0 = x
fin hacer

detener
fin

función real f (x)
f = LOG10 (x) + 0.7 * x
regreso
función final

función real fp (x)
fp = 1.0 / real (x * LOG (10.0)) + 0.7
regreso
función final
! ================================================= ========================
Solución:
Ingrese el valor inicial: 0.5
Ingrese el nivel de precisión: 0.01

output.dat (después de la ejecución)
Solución de iteración Valor de función
1 0.468781 -0.000884
2 0.469324 -0.000000
3 0.469324 -0.000000

Gracias por el A2A.

Answer 3

No creo que esta ecuación pueda resolverse algebraicamente, así que utilicé la técnica de Newton-Raphson para aproximar la solución.

La solución es aproximadamente x = 0.4693.

No hay otras soluciones.