¿Es [matemático] \ frac {3 ^ {25} +1} {2} [/ matemático] impar o par?

Answer 1

La regla simple que se debe seguir al resolver preguntas de auch es calcular el último dígito de 3 ^ 25.

Ver 3 ^ x nos da los siguientes resultados: 3, 9 27, 81, 243, 729, y así sucesivamente. Los últimos dígitos forman un patrón aquí: 3, 9, 7, 1, y así sucesivamente.

El patrón tiene 4 números. Por lo tanto, 3 ^ 25 = 3 ^ (4 * 6 + 1). Este el último dígito de nuestro número será 3.

Agregar 1 hará que sea 4.

Ahora, si dividimos cualquier número que termine con 4 por 2, el resultado es 2 o 7 (87 * 2 es 174 als 82 * 2 es 164). Por lo tanto, la solución a esto dependerá del segundo último dígito también.

La mejor manera de abordar esta pregunta es escribirla como: 3 ^ 25 + 1 = (4–1) ^ 25 + 1

= 25 C 0 4 ^ 25 + 25C1 4 ^ 24 (-1) +… + 25C24 4 ^ 1 (-1) 24. + 25c25 (-1) 25 +1

La segunda última expresión es básicamente -1

Así, las últimas 2 expresiones sumarán 0

Y los 25 términos restantes son múltiplos de 4. Por lo tanto

(3 ^ 25 + 1) / 2 es divisible por 2

Answer 2

N = 3 ^ 25 + 1 = (4 – 1) ^ 25 + 1

= Suma de k de 0 a 25 de [(25 C k) * {4 ^ (25-k)} * {(-1) ^ k}] + 1

= 4 * m -1 +1 {ya que todos los términos excepto el último término son divisibles por 4}

= 4 * m; m pertenece al número entero Z.

Ahora N / 2 = 2 * m

Por lo tanto, es divisible por 2 y, por lo tanto, es un número par.

Answer 3

Es lo mismo que preguntar es [matemáticas] (3 ^ {25} +1) [/ matemáticas] un múltiplo de 4. Pero 3 no es más que -1 módulo 4. Entonces [matemáticas] (- 1) ^ {25} + 1 = -1 +1 = 0 [/ matemáticas]. Entonces es un múltiplo de 4. En otras palabras, al dividir entre 2 obtienes un número par.

¿Por qué funciona esto? En general, si desea saber el resto de cualquier cociente, puede reemplazar cada número en la base por su resto al mismo cociente. Por ejemplo, para verificar entre pares e impares, necesita saber el resto a 2. Por lo tanto, todos los números impares son 1, y los números pares son 0. Entonces, el producto de dos números impares es impar porque [matemática] 1 \ por 1 = 1 [/ math] El producto de un número impar y un número par es par porque [math] 1 \ times 0 = 0 [/ math]. Y el producto de dos números pares es par [matemática] 0 \ veces 0 = 0 [/ matemática]. Esto se llama aritmética modular.

Para explicar en detalle, presentamos un símbolo llamado [math] \ equiv [/ math] para decir que la equivalencia de esos dos números, por ejemplo, -5, -1, 3, 7, son equivalentes con el módulo 4, porque todos salen mismo recordatorio, o en otras palabras, la diferencia entre ellos es un múltiplo de 4.

[matemáticas] a \ equiv b ~ (\ text {mod} ~ n) [/ matemáticas]

significa que a – b es un múltiplo de n; recuerda 0 es un múltiplo de n.

Ahora dejo como ejercicio al lector que pruebe las siguientes identidades. Si

[matemáticas] c \ equiv d ~ (\ text {mod} ~ n) [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] a + c \ equiv b + d ~ (\ text {mod} ~ n) [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ veces c \ equiv b \ veces d ~ (\ text {mod} ~ n) [/ matemáticas]

Ahora también puede ver el uso del resultado del producto anterior:

[matemáticas] a ^ k \ equiv b ^ k ~ (\ text {mod} ~ n) [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] 3 ^ {25} \ equiv (-1) ^ {25} ~ (\ text {mod} ~ 4) [/ matemáticas]

Answer 4

=== 3 ciclos de potencia ===
Unidades Dígito … … Potencia
3 ……………………… .. 4n + 1
9 ……………………… .. 4n + 2
7 ……………………… .. 4n + 3
1 ………………………… 4n + 4

25 = 4 * 6 + 1 (se puede representar como 4n + 1) ==> dígito de unidades de 3 ^ 25 ==> 3
Sumando 1, ==> dígito de unidades de 3 ^ 25 + 1 ==> 3 + 1 = 4
Dividiendo por 2 ==> dígito de unidades de (3 ^ 25 + 1) / 2 ==> 4/2 = 2

Como el dígito de las unidades de la expresión anterior es 2, es decir, un número par, por lo tanto, la expresión anterior es par

Answer 5

Como se ha mencionado, la pregunta nos exige determinar si:

[matemáticas] n = 3 ^ {25} +1 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 4. [/ matemáticas]

Entonces, notamos que,

[matemáticas] n = 3 ^ {25} +1 = (4-1) ^ {25} +1 [/ matemáticas]

Usando el teorema binomial,

[matemáticas] n = 4 ^ {25} + \ binom {25} {1} (4 ^ {24}) (- 1) ^ 1… (-1) ^ {25} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 4 ^ {25} + \ binom {25} {1} (4 ^ {24}) (- 1) ^ 1… -1 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 4 ^ {25} + \ binom {25} {1} (4 ^ {24}) (- 1) ^ 1… [/ matemáticas]

Ahora, todos los términos contienen poderes de [math] 4 [/ math].

Por lo tanto, [math] n [/ math] es divisible por [math] 4 [/ math].

Por lo tanto, el resultado será un número par.

---

Alternativamente,

[matemáticas] 3 ^ {25} +1 (\ textrm {mod} 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ equiv -1 (\ textrm {mod} 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 3 ^ {25} +1 (\ textrm {mod} 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv (-1) ^ {25} +1 [/ matemáticas] [matemáticas] (\ textrm {mod} 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv -1 + 1 [/ matemáticas] [matemáticas] (\ textrm {mod} 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 0 [/ matemáticas]

Answer 6

Como se indica en la descripción, si la pregunta se hizo como parte de un ejercicio de teoría del binomio, usemos la aproximación binomial para obtener la respuesta.

---

Para descifrar si [math] (3 ^ {25} [/ math] + 1) / 2 es impar o par, necesitamos descifrar si ([math] 3 ^ {25} [/ math] + 1) es divisible por 4. En caso afirmativo, entonces la expresión en la pregunta es par.

Porque, si existe un número natural p tal que ([matemática] 3 ^ {25} [/ matemática] + 1) = 4 p , entonces ([matemática] 3 ^ {25} [/ matemática] + 1) / 2 = 2 p , y 2 p es claramente par.

Para ser divisible por 4, los dos últimos dígitos de un número deben ser divisibles por 4.

Mantengamos 1 a un lado y concentrémonos en [matemáticas] 3 ^ {25} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {25} [/ matemáticas] = [matemáticas] 243 ^ {5} [/ matemáticas]

= [matemáticas] (240 + 3) ^ {5} [/ matemáticas]

= [matemáticas] (240 (1 + 3/240)) ^ {5} [/ matemáticas]

= [matemáticas] 240 ^ {5} [/ matemáticas]. [matemáticas] (1 + 1/80) ^ {5} [/ matemáticas]

Ahora, 1/80 es 0.0125, en el cual es ~ 100 veces menor que 1, en cuyo caso podemos usar la aproximación binomial:

[matemáticas] 240 ^ {5} [/ matemáticas]. (1 + 5/80)

Podemos eliminar [matemáticas] 240 ^ {4} [/ matemáticas], ya que nos dará cuatro ceros al final. Esto nos deja con:

240 (1 + 1/16)

= 240 + 15 = 255

Volviendo a la ecuación, tenemos

255 + 1 = 256, que es divisible por 4.

Por lo tanto, ([matemáticas] 3 ^ {25} [/ matemáticas] + 1) es divisible por 4

es decir ([matemáticas] 3 ^ {25} [/ matemáticas] + 1) / 2 es divisible por 2

Por lo tanto, ([matemáticas] 3 ^ {25} [/ matemáticas] + 1) / 2 es par .

Answer 7

[matemáticas] 3 \ equiv -1 (\ mod 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {25} \ equiv (-1) ^ {25} = – 1 (\ mod 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {25} +1 \ equiv 0 (\ mod 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 | (3 ^ {25} +1) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 2 | (3 ^ {25} +1) / 2 [/ matemáticas]

Entonces es parejo.

Answer 8

Este tiene que ser un número INCLUSO …

(3 ^ 25 +1) / 2

= [{(3² x 3²) ^ 6 x3} +1] / 2

= [{(81) ^ 6 x3} +1] / 2

81 elevado a cualquier potencia terminará con 1 en su lugar de unidad,

Entonces 81² tendrá sus últimos 2 dígitos … 61 (ya que 8 + 8 = 16)

Ahora, cuando 61 multiplicado por el siguiente conjunto de 61 (81 x81), los últimos 2 dígitos serán … 21 (como 6 + 6 = 12)

Ahora 21 multiplicado por 61 (81 × 81) los últimos 2 dígitos serán … 81 (como 2 + 6 = 8)

y ahora los últimos 2 dígitos … 81 multiplicado por 3, los últimos 2 dígitos serán … 43.

es decir, es un número impar

Odd +1 da un número par que termina con los últimos 2 dígitos … 44

Ahora, cualquier número que termine con 4 si se divide por 2, el cociente terminará con 2 o 7.

Como aquí se conocen los últimos 2 dígitos, que es … 44

Por lo tanto, el cociente terminará con 2

Entonces, es un número INCLUSO …

Answer 9

TLDR: – Será un número par.

Para tales números con potencias superiores, siempre habrá un patrón visible del último dígito del valor.

En este caso,

3 ^ 1 = 3 (el último dígito es tres)

3 ^ 2 = 9 (el último dígito es 9)

3 ^ 3 = 27 (el último dígito es 7)

3 ^ 4 = 81 (el último dígito es 1)

3 ^ 5 = 243 (el último dígito es nuevamente 3)

Entonces, el ciclo del último dígito se repite después de cada 4 números. Entonces, si ‘n’ es un número natural, entonces el último dígito de 3 ^ (4n + 1) siempre será 3.

Entonces, 3 ^ 25 = (………………… ..3). Así 3 ^ 25 + 1 = …………… ..4

Ahora, cualquier número con el último dígito como 4, cuando se divide por 2, todavía le dará un número par. Entonces, la respuesta es un número par

Answer 10

Si ve con cuidado, hay un patrón. Esto ayudará a resolver la pregunta rápidamente.

[3 ^ (1) +1] / 2 = 4/2 = 2 par

[3 ^ (2) +1] / 2 = 10/2 = 5 impar

[3 ^ (3) +1] / 2 = 28/2 = 14 par

[3 ^ (4) +1] / 2 = 82/2 = 41 impar

[3 ^ (5) +1] / 2 = 244/2 = 62 pares

Y así…

Por lo tanto, podemos ver que cuando 1 se suma a la potencia impar de 3 y la suma se divide por 2, entonces la resultante es par.

Por lo tanto, [3 ^ (25) +1] / 2 será par.

Este es el mejor método que se me ocurre.

Answer 11

Hay una solución muy fácil para este problema. Lo ves,

[matemáticas] {\ dfrac {3 ^ {25} +1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3 ^ {25} +3} {2} – \ dfrac {2} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = {\ dfrac {3 (3 ^ {24} +1)} {2}} -1 [/ matemáticas]

Está muy claro que si

[math] \ dfrac {3 ^ {24} +1} {2} [/ math] es impar, la expresión dada es par y si es par, la expresión dada es impar.

Esto se puede generalizar. Para todas las potencias pares e impares de 3 en [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] 3 ^ {n} +1) / 2 [/ matemáticas] la paridad (rareza o igualdad) se alterna. Sabemos que [math] ([/ math] [math] 3 ^ {1} +1) / 2 [/ math] es par. Entonces, el valor dado también debe ser par . 🙂

Answer 12

La potencia de 3 se repite en el ciclo de 4 para el dígito de las unidades.

3 ^ 1 = 3

3 ^ 2 = 9

3 ^ 3 = 7

3 ^ 4 = 1

En la pregunta dada, 3 ^ 25 dejará ‘3’ como DÍGITO DE UNIDADES.

Por lo tanto, (3 ^ 25) + 1 da ‘4’ como DÍGITO DE UNIDADES.

No importa cuál sea el número restante, la división del número dado por 2 siempre será un NÚMERO INCLUSO ya que el dígito de la unidad es 4.

Answer 13

[matemáticas] \ frac {3 ^ {25} +1} {2} = \ frac {(4-1) ^ {25} +1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {4 ^ {25} + \ binom {25} {1} .4 ^ {25}. (- 1) + \ binom {25} {2} .4 ^ {23}. (- 1). ^ {2} +… .. + (- 1) ^ {25} +1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {4 ^ {25} + \ binom {25} {1} .4 ^ {25}. (- 1) + \ binom {25} {2} .4 ^ {23}. (- 1). ^ {2} +… .. + \ binom {25} {24} .4. (- 1) ^ {24} -1 + 1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {4 ^ {25} + \ binom {25} {1} .4 ^ {25}. (- 1) + \ binom {25} {2} .4 ^ {23}. (- 1). ^ {2} +… .. + \ binom {25} {24} .4} {2} [/ matemáticas]

que es divisible por 4. Y por lo tanto divisible por 2.

Answer 14

Esta respuesta sigue un pensamiento simple de que

• ([matemática] 3 ^ {25} +1 [/ matemática]) siempre es par ya que cualquier potencia de 3 es impar, por lo que sumar 1 hace que sea par.
• Siempre que el último dígito de un número par sea 4,8, dividir el número por 2 da un resultado par.
• Las potencias de 3 siguen un patrón en el que su último dígito 3,9,7,1 y el ciclo se repite.
• Entonces, para [matemática] 3 ^ {25} [/ matemática] el ciclo de energía se completa 6 veces (como 25 = 6 * 4 + 1 donde 4 es el ciclo de energía). Entonces, este 1 resto indica que la potencia tendrá el primer número del ciclo como dígito de la unidad. Entonces, [math] 3 ^ {25} [/ math] tendrá 3 en el lugar de su unidad.
• Entonces, sumar 1 hace que el último dígito sea 4. Entonces dividir este número por 2 da un resultado par con 2 en el lugar de la unidad del resultado.

Answer 15

Una cosa a tener en cuenta es que (3 ^ 25 +1) / 2 sea par, el resultado de la expresión del numerador debe dar como resultado algo que tenga al menos dos 2s y luego otros factores, es decir, de la forma 2 * 2 * x, para que en la división el resultado sea de la forma 2 * x. El último dígito de 3 ^ 25 es 3. No es difícil llegar a eso, ya que 25 mod 3 es 1, ya que después de 3 ^ 3 el último dígito es igual que 3 ^ (y mod (3)) donde y> 3 . Por lo tanto, el resultado tiene 4 como último dígito, que dividido entre 2 mantendrá 2 como último dígito y, por lo tanto, el número será par

Answer 16

Comience desde 3 ^ 25, ya que la periodicidad de 3 es 4. Por lo tanto, el dígito unitario de 3 ^ 25 será 3. Haga este cálculo.

Ahora, dado que el último dígito es 3 y 3 y 1 es 4 y cualquiera que sea el dígito de las decenas, no debemos preocuparnos por eso. Y después de la división por 2, obtendrá el dígito de la unidad como 2.

Por lo tanto, es par.

Answer 17

Usa los teoremas de conservación del resto

3 ^ 5 = 3 ^ 2 * 3 ^ 3

3 ^ 3 = 27 produce un resto de 3 en una división por 4

3 ^ 2 produce un resto de 1 (div por 4)

entonces, 3 ^ 5 produce un resto de 3 * 1 = 3.

Ahora, 3 ^ 25 = (3 ^ 5) ^ 5 produce un resto de (3) ^ 5, que es 3.

3 ^ 25 + 1 tiene el mismo resto que 3 + 1 = 4, es decir, 0.

Entonces 3 ^ 25 + 1/2 será par

Answer 18

La posibilidad de 3 ^ (cualquier cosa) siempre te da el lugar de uno como (3,7,9,1), lo cual es extraño siempre.

Entonces agregar 1 te dará incluso. Dividir con 2 para esta pregunta dará un número par que termina en 2.

La respuesta es pareja.

Answer 19

Vamos a responder esta pregunta analizando algunos pequeños exponenciales de 3 poniendo en esta relación.
Pon el poder de 3 como x
(3 ^ x + 1) / 2
Cambiaremos el valor de x y, en consecuencia, verificaremos el resultado.
Pon x = 1 (impar)
(3 ^ 1 + 1) / 2 = 2 (par)
Pon x = 2 (par)
(3 ^ 2 + 1) / 2 = 5 (impar)
Pon x = 3 (impar)
(3 ^ 3 + 1) / 2 = 14 (par)
Pon x = 4 (par)
(3 ^ 4 + 1) / 2 = 41 (impar)
Está claro desde arriba que si el poder de 3 es impar, entonces esta relación da una respuesta par y viceversa.
En el problema dado, la potencia de 3 es 25, lo cual es extraño, la respuesta a este problema será un número par.

Answer 20

3 ^ (cualquier cosa) dará como resultado un número impar. Puedes hacerlo por 3 ^ 0 = 1,

3 ^ 1 = 3,

3 ^ 2 = 9,

3 ^ 3 = 27,

3 ^ 4 = 81.

(cualquier número) ^ (1,2,3,4) es suficiente para cambiar el resultado de cierto número.

entonces 3 ^ (cualquier cosa) siempre te da el lugar de uno como (3,7,9,1) lo cual es extraño.

Entonces agregar 1 te dará incluso.

Dividir el número con 2 para esta pregunta dará un número par que termina en 2.

La respuesta es pareja.